2次方程式 $x^2 + 3x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

この問題では、$x^2 + 3x + 5 = 0$ なので、$a = 1$, $b = 3$, $c = 5$ です。

したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$

$\alpha \beta = \frac{5}{1} = 5$

となります。

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

なので、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

となります。

$\alpha + \beta = -3$ と $\alpha \beta = 5$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-3)^2 - 2 \cdot 5 = 9 - 10 = -1$

となります。

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = -1$