次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int x^2 \sqrt{x^3 + 2} \, dx$ (2) $\int \sin^3 x \cos x \, dx$ (3) $\int \frac{\log x}{x} \, dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int x^2 \sqrt{x^3 + 2} \, dx$

(2) $\int \sin^3 x \cos x \, dx$

(3) $\int \frac{\log x}{x} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x^2 \sqrt{x^3 + 2} \, dx$

置換積分を行います。$u = x^3 + 2$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ より $du = 3x^2 \, dx$ となります。したがって、$x^2 \, dx = \frac{1}{3} du$ です。

$\int x^2 \sqrt{x^3 + 2} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} \, du$

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

$u = x^3 + 2$ を代入して、$\frac{2}{9} (x^3 + 2)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $\int \sin^3 x \cos x \, dx$

置換積分を行います。$u = \sin x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \cos x$ より $du = \cos x \, dx$ となります。

$\int \sin^3 x \cos x \, dx = \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C$

$u = \sin x$ を代入して、$\frac{\sin^4 x}{4} + C$

(3) $\int \frac{\log x}{x} \, dx$

置換積分を行います。$u = \log x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より $du = \frac{1}{x} \, dx$ となります。

$\int \frac{\log x}{x} \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C$

$u = \log x$ を代入して、$\frac{(\log x)^2}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9} (x^3 + 2)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $\frac{\sin^4 x}{4} + C$

(3) $\frac{(\log x)^2}{2} + C$