$x > 0$ のとき、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

この不等式を証明するために、数学的帰納法を用いることができます。

(1) $n = 0$ のとき、不等式は $e^x > 1$ となり、$x > 0$ のときこれは真です。

(2) $n = k$ のとき不等式が成り立つと仮定します。つまり、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!}$ が成り立つと仮定します。

(3) $n = k+1$ のとき不等式が成り立つことを示します。つまり、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ を示す必要があります。

$f(x) = e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!})$ と定義します。

$f'(x) = e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!})$.

帰納法の仮定から、$f'(x) > 0$ が成り立ちます。

したがって、$f(x)$ は増加関数です。

$f(0) = e^0 - (1 + 0 + \cdots + 0) = 1 - 1 = 0$.

$x > 0$ に対して、$f(x) > f(0) = 0$。

したがって、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$.

したがって、数学的帰納法により、$x > 0$ のとき、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x > 0$ のとき、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$