次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2-9}{|x-3|}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-5}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2-9}{|x-3|}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-5}$

2. 解き方の手順

(1)

分子を有理化します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+8)-9}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+8}+3}$

$x$ に $1$ を代入します。

$\frac{1}{\sqrt{1+8}+3} = \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$

(2)

$x \to 3-0$ より $x < 3$ なので $|x-3| = -(x-3)$ となります。

$\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2-9}{|x-3|} = \lim_{x \to 3-0} \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)} = \lim_{x \to 3-0} -(x+3)$

$x$ に $3$ を代入します。

$-(3+3) = -6$

(3)

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-5} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1-\frac{5}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{5}{x} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1-\frac{5}{x}} = \frac{1}{1-0} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $-6$

(3) $1$