2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 6 = 0$ が異なる2つの実数解を持ち、そのうちの1つが $-1 < x < 1$ の範囲にあり、もう1つが $2 < x < 4$ の範囲にあるような定数 $a$ の値の範囲を求める。

## 問題4

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 6 = 0$ が異なる2つの実数解を持ち、そのうちの1つが $-1 < x < 1$ の範囲にあり、もう1つが $2 < x < 4$ の範囲にあるような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax - a + 6$ を考える。

異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(-a+6) = 4a^2 + 4a - 24 = 4(a^2 + a - 6) = 4(a+3)(a-2)$

よって、$D > 0$ より $(a+3)(a-2) > 0$ なので、$a < -3$ または $a > 2$。

次に、$f(-1) < 0$、$f(1) < 0$、$f(2) > 0$、$f(4) > 0$ を満たす必要がある。

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) - a + 6 = 1 + 2a - a + 6 = a + 7 < 0$ より $a < -7$。

$f(1) = 1^2 - 2a(1) - a + 6 = 1 - 2a - a + 6 = -3a + 7 < 0$ より $a > \frac{7}{3}$。

$f(2) = 2^2 - 2a(2) - a + 6 = 4 - 4a - a + 6 = -5a + 10 > 0$ より $a < 2$。

$f(4) = 4^2 - 2a(4) - a + 6 = 16 - 8a - a + 6 = -9a + 22 > 0$ より $a < \frac{22}{9}$。

上記全てを満たす $a$ の範囲を求める。

$a < -7$ かつ $a > \frac{7}{3}$ は同時に成り立たない。

$a > 2$ かつ $a < 2$ は同時に成り立たない。

また、$f(-1)$と$f(1)$の条件，$f(2)$と$f(4)$の条件より，$f(-1)f(1)<0$と$f(2)f(4)<0$を満たす必要がある。

条件より $-1 < x < 1$の範囲に解を1つ、また、$2 < x < 4$の範囲に解を1つ持つ必要がある。

$f(2)$と$f(4)$の符号が異なれば、$2 < x < 4$の範囲に解を1つ持つ。$f(-1)$と$f(1)$の符号が異なれば、$-1 < x < 1$の範囲に解を1つ持つ。

しかし$D>0$の条件より、$a<-3$または$a>2$なので、$a$の範囲は存在しないことになる。

別の考え方で解く。

解を$\alpha$,$\beta$とすると、$-1<\alpha<1$, $2<\beta<4$を満たす。

$f(-1)f(1)<0$より、$(a+7)(-3a+7)<0$となり、$(a+7)(3a-7)>0$なので、$a<-7$または$a>7/3$。

$f(2)f(4)<0$より、$(-5a+10)(-9a+22)<0$となり、$(5a-10)(9a-22)<0$なので、$2<a<22/9$。

$a<-7$または$a>7/3$と、$2<a<22/9$の共通部分は、$2<a<22/9$。

$a=2$のとき、$f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2=0$より、$x=2$（重解）なので不適。

$a=22/9$のとき、$f(x)=x^2-44/9 x - 22/9+6=x^2-44/9 x+32/9$となる。

3. 最終的な答え

$2 < a < \frac{22}{9}$