(1) $(x-2)^7$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めよ。 (2) $(3x^2+1)^6$ の展開式における $x^8$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(x-2)^7$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めよ。

(2) $(3x^2+1)^6$ の展開式における $x^8$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より、 $(x-2)^7$ の一般項は

$${}_7 C_r x^{7-r} (-2)^r$$

$x^3$ の項を求めるので $7-r = 3$ となる $r$ を求める。

$r = 4$ であるから、 $x^3$ の項の係数は

$${}_7 C_4 (-2)^4 = \frac{7!}{4!3!} \times 16 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 16 = 35 \times 16 = 560$$

(2) 二項定理より、 $(3x^2+1)^6$ の一般項は

$${}_6 C_r (3x^2)^r (1)^{6-r} = {}_6 C_r 3^r x^{2r}$$

$x^8$ の項を求めるので $2r = 8$ となる $r$ を求める。

$r = 4$ であるから、$x^8$ の項の係数は

$${}_6 C_4 \times 3^4 = \frac{6!}{4!2!} \times 81 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 81 = 15 \times 81 = 1215$$

3. 最終的な答え

(1) 560

(2) 1215