$A$ を $n$ 次正方行列とする。$A$ の固有多項式が $(\lambda - t)^n$ であり、$A \neq tE$ であるとき、$A$ が対角化可能でないことを示す。ここで、$E$ は $n$ 次の単位行列である。

1. 問題の内容

$A$ を $n$ 次正方行列とする。$A$ の固有多項式が $(\lambda - t)^n$ であり、$A \neq tE$ であるとき、$A$ が対角化可能でないことを示す。ここで、$E$ は $n$ 次の単位行列である。

2. 解き方の手順

$A$ が対角化可能であると仮定する。すると、$A$ はある正則行列 $P$ によって対角化できる。つまり、$P^{-1}AP = D$ となる対角行列 $D$ が存在する。

$A$ の固有多項式が $(\lambda - t)^n$ であることから、$A$ の固有値は $t$ のみであり、その重複度は $n$ である。したがって、対角行列 $D$ の対角成分はすべて $t$ となる。すなわち、

$D = tE$

となる。

すると、$P^{-1}AP = tE$ となるので、

$A = P(tE)P^{-1} = t(PEP^{-1}) = tE$

となる。

しかし、$A \neq tE$ であるという仮定に矛盾する。したがって、$A$ は対角化可能ではない。

3. 最終的な答え

$A$ は対角化可能ではない。