初項が5、公比が4である等比数列の第n項が32であるとき、nを求めます。

1. 問題の内容

初項が5、公比が4である等比数列の第n項が32であるとき、nを求めます。

2. 解き方の手順

等比数列の第n項は、初項を$a$、公比を$r$とすると、$ar^{n-1}$で表されます。

この問題では、$a = 5$、$r = 4$なので、第n項は$5 \cdot 4^{n-1}$となります。

これが32に等しいので、次の式が成り立ちます。

$5 \cdot 4^{n-1} = 32$

この式を解いて$n$を求めます。まず、両辺を5で割ります。

$4^{n-1} = \frac{32}{5} = 6.4$

両辺の対数を取ります。底は何でも構いませんが、常用対数(底が10)を取ると、

$\log(4^{n-1}) = \log(6.4)$

$(n-1) \log(4) = \log(6.4)$

両辺を$\log(4)$で割ります。

$n-1 = \frac{\log(6.4)}{\log(4)}$

$\log(6.4) \approx 0.806$

$\log(4) \approx 0.602$

$n-1 = \frac{0.806}{0.602} \approx 1.34$

$n = 1.34 + 1 = 2.34$

しかし、nは整数でなければならないので、計算に間違いがあるか、問題自体に誤りがある可能性があります。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがある可能性があるため、正確な整数値のnを求めることは出来ません。

仮に問題文が$5\cdot 4^{n-1}=320$ であったとすると、$4^{n-1}=64 = 4^3$となるので、$n-1=3$、$n=4$となります。

したがって、問題文の数字が32ではなく、320であれば、n=4が答えとなります。

上記を考慮し、現時点では「問題文に誤りがあるか、正確な整数値のnを求めることは出来ない」と回答します。