三角形ABCにおいて、点P, Q, Rがそれぞれ辺AB, AC, BC上にあり、線分AQ, BP, CRが点Oで交わるとき、以下の線分の長さの比を求めます。 (1) BR : RC (2) BC : CS (3) AO : OR

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点P, Q, Rがそれぞれ辺AB, AC, BC上にあり、線分AQ, BP, CRが点Oで交わるとき、以下の線分の長さの比を求めます。

(1) BR : RC

(2) BC : CS

(3) AO : OR

2. 解き方の手順

(1) BR : RCを求める。

チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

与えられた値より、$\frac{AP}{PB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、$\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$であるから、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BR}{RC} = 4$

したがって、BR : RC = 4 : 1

(2) BC : CSを求める。

メネラウスの定理を三角形ARCと直線BSについて適用すると、

$\frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QC} = 1$

(1)よりBR : RC = 4 : 1なので、BC : BR = (4+1) : 4 = 5 : 4

$\frac{CB}{BR} = \frac{5}{4}$

また、$\frac{AQ}{QC} = \frac{6}{3} = 2$なので、

$\frac{5}{4} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot 2 = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{2}{5}$

したがって、$\frac{AO}{OR} = \frac{5}{2}$

メネラウスの定理を三角形BCSと直線ARについて適用すると、

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AS} \cdot \frac{SO}{OB}=1$

$\frac{BR}{RC} = \frac{4}{1}$

$\frac{CA}{AS} = \frac{6}{3} = 2$

メネラウスの定理を三角形BCSと直線AQについて適用すると、

$\frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AO}{OR} \cdot \frac{RB}{BC} = 1$

$\frac{AR}{RS} = 1$

メネラウスの定理を三角形ARSと直線BCについて適用すると、

$\frac{AC}{CQ}\frac{QR}{RB}\frac{BS}{SA}=1$

別の解き方：

メネラウスの定理を三角形BCSと直線AQに対して適用すると、

$\frac{CQ}{QS} \cdot \frac{SA}{AB} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RB} \cdot \frac{BS}{SC}=1$

$\frac{AQ}{QC} = 2$

$\frac{BS}{SC} \cdot \frac{BC}{CS}$

$BC : CS = \frac{1}{2} \cdot (BR : RC) = 4:1$

(3) AO : ORを求める。

$AO:OR = 5:2$

3. 最終的な答え

(1) BR : RC = 4 : 1

(2) BC : CS = 5 : 3

(3) AO : OR = 5 : 2