(4) 三角形ABCにおいて、$\angle BCD = \angle BAC$が成り立つとき、線分ADの長さを求める問題。ただし、BD=2cm, BC=3cm, AC=4cmである。 (5) 台形ABCDにおいて、AD//BC, AD=2cm, BC=5cmである。対角線AC, BDの中点をそれぞれP, Qとするとき、線分PQの長さを求める問題。

1. 問題の内容

(4) 三角形ABCにおいて、$\angle BCD = \angle BAC$が成り立つとき、線分ADの長さを求める問題。ただし、BD=2cm, BC=3cm, AC=4cmである。

(5) 台形ABCDにおいて、AD//BC, AD=2cm, BC=5cmである。対角線AC, BDの中点をそれぞれP, Qとするとき、線分PQの長さを求める問題。

2. 解き方の手順

(4)

$\angle BCD = \angle BAC$より、$\triangle BCD \sim \triangle ACB$である。

相似比は$BC:AC = 3:4$である。

したがって、$BD:AB = 3:4$なので、$AB = \frac{4}{3}BD = \frac{4}{3} \times 2 = \frac{8}{3}$となる。

また、$CD:BC = 3:4$なので、$CD = \frac{3}{4}BC = \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4}$となる。

$\triangle ABD$において、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 AB \times AD \times \cos A$

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \cos A$

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \times AC} = \frac{(\frac{8}{3})^2 + 4^2 - 3^2}{2 \times \frac{8}{3} \times 4} = \frac{\frac{64}{9} + 16 - 9}{\frac{64}{3}} = \frac{\frac{64+144-81}{9}}{\frac{64}{3}} = \frac{127}{9} \times \frac{3}{64} = \frac{127}{192}$

$AD^2 - 2 AB \times AD \times \cos A + AB^2 - BD^2 = 0$

$AD^2 - 2 \times \frac{8}{3} \times AD \times \frac{127}{192} + (\frac{8}{3})^2 - 2^2 = 0$

$AD^2 - \frac{127}{36} AD + \frac{64}{9} - 4 = 0$

$AD^2 - \frac{127}{36} AD + \frac{64-36}{9} = 0$

$AD^2 - \frac{127}{36} AD + \frac{28}{9} = 0$

$36AD^2 - 127AD + 112 = 0$

$(4AD - 7)(9AD - 16)=0$

$AD = \frac{7}{4}$または$AD = \frac{16}{9}$

$\triangle BCD \sim \triangle ACB$より、$\angle BDC = \angle ABC$である。

$\angle BCD = \angle BAC$より、四角形ABCDは円に内接する。

トレミーの定理より

$AB \times CD + BC \times AD = AC \times BD$

$\frac{8}{3} \times \frac{9}{4} + 3AD = 4 \times 2$

$6 + 3AD = 8$

$3AD = 2$

$AD = \frac{2}{3}$ これは違う

$\triangle BCD \sim \triangle ACB$より、$\frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC}$

$\frac{x}{4} = \frac{2}{3}$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

$\frac{AD}{AB} = \frac{BD}{BC}$

$AD = \frac{AB \times BD}{BC} = \frac{\frac{8}{3} \times 2}{3} = \frac{16}{9}$

トレミーの定理より

$AD \times BC + AB \times CD = AC \times BD$

$AD \times 3 + \frac{8}{3} \times \frac{9}{4} = 4 \times 2$

$3AD + 6 = 8$

$3AD = 2$

$AD = \frac{2}{3}$

しかし、与えられた選択肢には存在しない

(5)

台形ABCDにおいて、PQは中点連結定理より、

$PQ = \frac{BC - AD}{2} = \frac{5-2}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{14}{3}$

(5) $\frac{3}{2}$