4つの鋭角$a, b, c, d$があり、以下の2つの式が与えられています。 $ \cos a = \cos b \cdot \cos c $ $ \sin b = \sin a \cdot \sin d $ このとき、$ \sin c \cdot \tan d $を$b$のみの関数として表してください。

1. 問題の内容

4つの鋭角$a, b, c, d$があり、以下の2つの式が与えられています。

$\cos a = \cos b \cdot \cos c$

$\sin b = \sin a \cdot \sin d$

このとき、$\sin c \cdot \tan d$を$b$のみの関数として表してください。

2. 解き方の手順

与えられた式から、$\sin c \cdot \tan d$を$b$のみで表すことを目指します。

まず、$\cos a = \cos b \cos c$ より、$\cos c = \frac{\cos a}{\cos b}$ となります。

次に、$\sin b = \sin a \sin d$ より、$\sin d = \frac{\sin b}{\sin a}$ となります。

求めるものは $\sin c \cdot \tan d = \sin c \cdot \frac{\sin d}{\cos d}$ です。

$\sin^2 c + \cos^2 c = 1$ より、$\sin c = \sqrt{1 - \cos^2 c}$ なので、$\sin c = \sqrt{1 - \frac{\cos^2 a}{\cos^2 b}} = \frac{\sqrt{\cos^2 b - \cos^2 a}}{\cos b}$

$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ より、$\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a}$

ここで、$\cos a = \cos b \cos c$を$\sin b = \sin a \sin d$に代入するために、$\cos a$について解きます。

$\sin b = \sin a \sin d$ より、$\sin a = \frac{\sin b}{\sin d}$

$\cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2 b}{\sin^2 d}}$

また、$\cos d = \sqrt{1 - \sin^2 d} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2 b}{\sin^2 a}} = \frac{\sqrt{\sin^2 a - \sin^2 b}}{\sin a}$

したがって、$\tan d = \frac{\sin d}{\cos d} = \frac{\frac{\sin b}{\sin a}}{\frac{\sqrt{\sin^2 a - \sin^2 b}}{\sin a}} = \frac{\sin b}{\sqrt{\sin^2 a - \sin^2 b}}$

$\sin c \cdot \tan d = \frac{\sqrt{\cos^2 b - \cos^2 a}}{\cos b} \cdot \frac{\sin b}{\sqrt{\sin^2 a - \sin^2 b}}$

$\cos a = \cos b \cos c$より、$\cos^2 a = \cos^2 b \cos^2 c$

$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \cos^2 b \cos^2 c$

これを代入すると、

$\sin c \cdot \tan d = \frac{\sqrt{\cos^2 b - (1 - \sin^2 a)}}{\cos b} \cdot \frac{\sin b}{\sqrt{\sin^2 a - \sin^2 b}}$

ここで，$\sin a = \frac{\sin b}{\sin d}$を$\cos a$の式に代入すると、

$\cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2 b}{\sin^2 d}}$

$\tan d = \frac{\sin b}{\sqrt{\sin^2 a - \sin^2 b}}$だったので、$\sin c \tan d = \sqrt{1-\cos^2 c} \cdot \tan d$

$\sin c = \sqrt{1 - \frac{\cos^2 a}{\cos^2 b}}$

$\sin c = \sqrt{1-\frac{1 - \sin^2 a}{\cos^2 b}} = \frac{\sqrt{\cos^2 b+\sin^2 a -1}}{\cos b}$

$\sin c \tan d = \frac{\sqrt{\cos^2 b+\sin^2 a -1}}{\cos b} \cdot \frac{\sin b}{\sqrt{\sin^2 a - \sin^2 b}}$

$\sin b = \sin a \sin d$より、$\sin a = \frac{\sin b}{\sin d}$

$\sin^2 a = \frac{\sin^2 b}{\sin^2 d}$

$\cos a = \sqrt{1 - \frac{\sin^2 b}{\sin^2 d}}$

$\cos c = \frac{\cos a}{\cos b} = \frac{\sqrt{1 - \frac{\sin^2 b}{\sin^2 d}}}{\cos b}$

$\sin c = \sqrt{1 - \cos^2 c} = \sqrt{1 - \frac{1 - \frac{\sin^2 b}{\sin^2 d}}{\cos^2 b}} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2 d - \sin^2 b}{\cos^2 b \sin^2 d}}$

$\tan d = \frac{\sin d}{\cos d} = \frac{\sin d}{\sqrt{1 - \sin^2 d}}$

$\sin c \tan d = \frac{\sin b}{\cos b} = \tan b$

3. 最終的な答え

$\sin c \cdot \tan d = \tan b$