与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の5つの関数について、それぞれの導関数を求めます。 (1) $y = (2x + 3)^6$ (2) $y = \frac{1}{(e^x + 1)^2}$ (3) $y = \sin^4 \frac{x}{2}$ (4) $y = \sin \sqrt{e^x + 1}$ (5) $y = \log |\log x|$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の5つの関数について、それぞれの導関数を求めます。

(1) $y = (2x + 3)^6$

(2) $y = \frac{1}{(e^x + 1)^2}$

(3) $y = \sin^4 \frac{x}{2}$

(4) $y = \sin \sqrt{e^x + 1}$

(5) $y = \log |\log x|$

2. 解き方の手順

(1) $y = (2x + 3)^6$ の場合：

合成関数の微分法を用います。$u = 2x + 3$ とおくと、$y = u^6$ となります。

$\frac{dy}{du} = 6u^5$

$\frac{du}{dx} = 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6u^5 \cdot 2 = 12(2x + 3)^5$

(2) $y = \frac{1}{(e^x + 1)^2}$ の場合：

$y = (e^x + 1)^{-2}$と変形します。

$u = e^x + 1$ とおくと、$y = u^{-2}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3}$

$\frac{du}{dx} = e^x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -2u^{-3} \cdot e^x = -2(e^x + 1)^{-3}e^x = \frac{-2e^x}{(e^x + 1)^3}$

(3) $y = \sin^4 \frac{x}{2}$ の場合：

$y = (\sin \frac{x}{2})^4$ と考えます。

$u = \sin \frac{x}{2}$ とおくと、$y = u^4$ となります。

さらに、$v = \frac{x}{2}$ とおくと、$u = \sin v$ となります。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dv} = \cos v$

$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = 4u^3 \cdot \cos v \cdot \frac{1}{2} = 2(\sin \frac{x}{2})^3 \cdot \cos \frac{x}{2} = 2 \sin^3 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

(4) $y = \sin \sqrt{e^x + 1}$ の場合：

$u = \sqrt{e^x + 1}$ とおくと、$y = \sin u$ となります。

さらに、$v = e^x + 1$ とおくと、$u = \sqrt{v} = v^{\frac{1}{2}}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{2}v^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$

$\frac{dv}{dx} = e^x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \cos u \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot e^x = \cos(\sqrt{e^x + 1}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{e^x + 1}} \cdot e^x = \frac{e^x \cos \sqrt{e^x + 1}}{2\sqrt{e^x + 1}}$

(5) $y = \log |\log x|$ の場合：

$u = \log x$ とおくと、$y = \log |u|$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 12(2x + 3)^5$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2e^x}{(e^x + 1)^3}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2 \sin^3 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x \cos \sqrt{e^x + 1}}{2\sqrt{e^x + 1}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x}$