$\arctan x$ のマクローリン展開を、項別積分を用いて求めよ。

1. 問題の内容

$\arctan x$ のマクローリン展開を、項別積分を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\arctan x$ の微分を考える。

$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

次に、$\frac{1}{1+x^2}$ を等比級数で表す。これは $|x| < 1$ の範囲で有効である。

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

ここで、$\arctan x$ は $\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分なので、項別積分を行う。

$\arctan x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int x^{2n} dx$

$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C$

ここで、$x=0$ を代入すると、$\arctan 0 = 0$ より、$C=0$ となる。

よって、$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

展開形を書き下すと、

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

3. 最終的な答え

$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$ ($|x| \leq 1$)