関数 $f(x) = 2^{x+1} - 1$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。 (3) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ の漸近線を、極限の計算を用いて求める。 (4) 元の関数 $y = f(x)$ のグラフを実線で、逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを点線で描く。 (漸近線も破線で描く)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2^{x+1} - 1$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域を求める。

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

(3) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ の漸近線を、極限の計算を用いて求める。

(4) 元の関数 $y = f(x)$ のグラフを実線で、逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを点線で描く。 (漸近線も破線で描く)

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = f(x) = 2^{x+1} - 1$ の定義域と値域を求める。

* 定義域：指数関数 $2^{x+1}$ は全ての実数 $x$ で定義されているので、$f(x)$ の定義域は全ての実数。

* 値域：指数関数 $2^{x+1}$ は常に正の値を取るので、$2^{x+1} > 0$。したがって、$2^{x+1} - 1 > -1$。よって、$f(x) > -1$。 したがって、$f(x)$ の値域は $y > -1$。

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

* $y = 2^{x+1} - 1$ とする。

$y + 1 = 2^{x+1}$

$\log_2(y+1) = x+1$

$x = \log_2(y+1) - 1$

* $x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は $y = \log_2(x+1) - 1$ 。したがって、$f^{-1}(x) = \log_2(x+1) - 1$。

(3) 逆関数 $y = f^{-1}(x) = \log_2(x+1) - 1$ の漸近線を、極限の計算を用いて求める。

* 対数関数 $\log_2(x+1)$ が定義されるためには、$x+1 > 0$ である必要がある。したがって、$x > -1$。

$x$ が $-1$ に近づくとき、すなわち $x \to -1 + 0$ のとき、$\log_2(x+1) \to -\infty$。

したがって、$\lim_{x \to -1+0} (\log_2(x+1) - 1) = -\infty$ 。

* よって、逆関数 $y = f^{-1}(x)$ の漸近線は $x = -1$。

(4) グラフを描く。

元の関数 $y=f(x)=2^{x+1}-1$ は、$x$ が増加すると $y$ も増加する単調増加関数であり、$x \to -\infty$ のとき $y \to -1$ なので、$y=-1$ が漸近線となる。

逆関数 $y=f^{-1}(x) = \log_2(x+1) - 1$ は、$x$ が増加すると $y$ も増加する単調増加関数であり、$x \to -1+0$ のとき $y \to -\infty$ なので、$x=-1$ が漸近線となる。

グラフは省略します。（元の関数を実線、逆関数を点線、漸近線を破線で描く。）

3. 最終的な答え

(1) 定義域：全ての実数、値域：$y > -1$

(2) $f^{-1}(x) = \log_2(x+1) - 1$

(3) 漸近線：$x = -1$

(4) グラフは省略