(a) 関数 $f(x, y) = x^2 - 5xy + 3y^2 - 2$ の偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めよ。 (b) 関数 $f(x, y) = x^5 + 8x^3y^7 - 4y^2$ の偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(a) 関数 $f(x, y) = x^2 - 5xy + 3y^2 - 2$ の偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めよ。

(b) 関数 $f(x, y) = x^5 + 8x^3y^7 - 4y^2$ の偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(a) $f(x, y) = x^2 - 5xy + 3y^2 - 2$ について、

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めるには、$y$を定数と見て、$x$で偏微分します。

$\frac{\partial}{\partial x} (x^2) = 2x$

$\frac{\partial}{\partial x} (-5xy) = -5y$

$\frac{\partial}{\partial x} (3y^2) = 0$

$\frac{\partial}{\partial x} (-2) = 0$

したがって、

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 5y$

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めるには、$x$を定数と見て、$y$で偏微分します。

$\frac{\partial}{\partial y} (x^2) = 0$

$\frac{\partial}{\partial y} (-5xy) = -5x$

$\frac{\partial}{\partial y} (3y^2) = 6y$

$\frac{\partial}{\partial y} (-2) = 0$

したがって、

$\frac{\partial f}{\partial y} = -5x + 6y$

(b) $f(x, y) = x^5 + 8x^3y^7 - 4y^2$ について、

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めるには、$y$を定数と見て、$x$で偏微分します。

$\frac{\partial}{\partial x} (x^5) = 5x^4$

$\frac{\partial}{\partial x} (8x^3y^7) = 24x^2y^7$

$\frac{\partial}{\partial x} (-4y^2) = 0$

したがって、

$\frac{\partial f}{\partial x} = 5x^4 + 24x^2y^7$

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めるには、$x$を定数と見て、$y$で偏微分します。

$\frac{\partial}{\partial y} (x^5) = 0$

$\frac{\partial}{\partial y} (8x^3y^7) = 56x^3y^6$

$\frac{\partial}{\partial y} (-4y^2) = -8y$

したがって、

$\frac{\partial f}{\partial y} = 56x^3y^6 - 8y$

3. 最終的な答え

(a)

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 5y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -5x + 6y$

(b)

$\frac{\partial f}{\partial x} = 5x^4 + 24x^2y^7$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 56x^3y^6 - 8y$