長方形ABCDにおいて、点Pは頂点Aを、点Qは頂点Cを同時に出発し、それぞれ辺AB, CB上を秒速1cmで頂点Bに向かって進む。三角形PBQの面積が12 cm$^2$となるのは、点Pが頂点Aを出発して何秒後か。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点Pは頂点Aを、点Qは頂点Cを同時に出発し、それぞれ辺AB, CB上を秒速1cmで頂点Bに向かって進む。三角形PBQの面積が12 cm$^2$となるのは、点Pが頂点Aを出発して何秒後か。

2. 解き方の手順

点Pが頂点Aを出発して$x$秒後に三角形PBQの面積が12 cm$^2$となるとする。

BPの長さは$8-x$ cm, BQの長さは$6-x$ cmである。

三角形PBQの面積は$\frac{1}{2} (8-x)(6-x)$ で表されるので、$\frac{1}{2}(8-x)(6-x) = 12$という方程式が成り立つ。

この式を整理する。

$(8-x)(6-x) = 24$

$48 - 8x - 6x + x^2 = 24$

$x^2 - 14x + 48 = 24$

$x^2 - 14x + 24 = 0$

$(x-2)(x-12)=0$

よって、$x = 2, 12$。

PとQはそれぞれBに着くまで動くので、$x$の変域は$0 \le x \le 6$かつ$0 \le x \le 8$より、$0 \le x \le 6$である。

$x=12$は変域を満たさないため、$x=2$のみが解となる。

3. 最終的な答え

2秒後