平面上の $\triangle OAB$ と任意の点 $P$ に対し、次のベクトル方程式が円を表す。どのような円か。 (1) $|3\vec{OA} + 2\vec{OB} - 5\vec{OP}| = 5$ (2) $\vec{OP} \cdot (\vec{OP} - \vec{AB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

1. 問題の内容

平面上の $\triangle OAB$ と任意の点 $P$ に対し、次のベクトル方程式が円を表す。どのような円か。

(1) $|3\vec{OA} + 2\vec{OB} - 5\vec{OP}| = 5$

(2) $\vec{OP} \cdot (\vec{OP} - \vec{AB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた式を変形します。

$|3\vec{OA} + 2\vec{OB} - 5\vec{OP}| = 5$

$|5(\frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5} - \vec{OP})| = 5$

$5|\frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5} - \vec{OP}| = 5$

$|\frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5} - \vec{OP}| = 1$

ここで、点 $C$ を $\vec{OC} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5}$ となるように定めます。すると、

$|\vec{OC} - \vec{OP}| = 1$

$|\vec{CP}| = 1$

これは、点 $C$ を中心とする半径 $1$ の円を表します。

(2)

与えられた式を変形します。

$\vec{OP} \cdot (\vec{OP} - \vec{AB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

$\vec{OP} \cdot \vec{OP} - \vec{OP} \cdot \vec{AB} = \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

$|\vec{OP}|^2 - \vec{OP} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

$|\vec{OP}|^2 - \vec{OP} \cdot \vec{OB} + \vec{OP} \cdot \vec{OA} = \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

$|\vec{OP}|^2 - \vec{OP} \cdot \vec{OB} + \vec{OP} \cdot \vec{OA} - \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

両辺に $|\frac{\vec{OA} - \vec{OB}}{2}|^2$ を足し引きすると

$|\vec{OP}|^2 - \vec{OP} \cdot \vec{OB} + \vec{OP} \cdot \vec{OA} - \vec{OA} \cdot \vec{OB} + |\frac{\vec{OA} - \vec{OB}}{2}|^2 - |\frac{\vec{OA} - \vec{OB}}{2}|^2 = 0$

$|\vec{OP}|^2 - \vec{OP} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) + |\frac{\vec{OB}-\vec{OA}}{2}|^2 = |\frac{\vec{OB}-\vec{OA}}{2}|^2 + \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

$|\vec{OP}|^2 - \vec{OP} \cdot (\vec{OB}-\vec{OA}) + \frac{|\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2}{4} = |\frac{\vec{OB}-\vec{OA}}{2}|^2 + \vec{OA}\cdot\vec{OB}$

$|\vec{OP}-\frac{\vec{OB}-\vec{OA}}{2}|^2 = \frac{|\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2}{4} + \vec{OA}\cdot\vec{OB}$

$|\vec{OP}-\frac{\vec{OB}-\vec{OA}}{2}|^2 = \frac{|\vec{OB}|^2 + 2\vec{OB}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2}{4}$

$|\vec{OP}-\frac{\vec{OB}-\vec{OA}}{2}|^2 = |\frac{\vec{OB} + \vec{OA}}{2}|^2$

ここで、点 $M$ を $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$ となるように定めます。すると、

$|\vec{OP}-\frac{\vec{OB}+\vec{OA}-2\vec{OA}}{2}|^2 = |\frac{\vec{OB} + \vec{OA}}{2}|^2$

$|\vec{OP}-\vec{OA}-\frac{\vec{OB}+\vec{OA}-2\vec{OA}}{2}+\vec{OA}|^2 = |\frac{\vec{OB} + \vec{OA}}{2}|^2$

$|\vec{OP}-\frac{\vec{OB}+\vec{OA}}{2}|^2 = |\frac{\vec{OB} + \vec{OA}}{2}|^2$

$|\vec{OP}-\vec{OM}|^2 = |\vec{OM}|^2$

$|\vec{MP}|^2 = |\vec{OM}|^2$

これは、点 $M$ を中心とする半径 $|\vec{OM}| = |\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}|$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 点 $C$ ($\vec{OC} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5}$) を中心とする半径 $1$ の円。

(2) 点 $M$ ($\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$) を中心とする半径 $|\vec{OM}| = |\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}|$ の円。