三角形ABCにおいて、$BC=5$, $CA=6$, $AB=7$である。 (1) $\cos C$, $\sin C$, 面積$S$, 外接円の半径$R$, 内接円の半径$r$を求める。 (2) 頂点A, Bから対辺に下ろした垂線と対辺の交点をそれぞれD, Eとし、線分ADとBEの交点をHとするとき、$CD$, $CE$, $DE$, $CH$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=5$, $CA=6$, $AB=7$である。

(1) $\cos C$, $\sin C$, 面積$S$, 外接円の半径$R$, 内接円の半径$r$を求める。

(2) 頂点A, Bから対辺に下ろした垂線と対辺の交点をそれぞれD, Eとし、線分ADとBEの交点をHとするとき、$CD$, $CE$, $DE$, $CH$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

余弦定理より、

$\cos C = \frac{CA^2 + BC^2 - AB^2}{2CA\cdot BC} = \frac{6^2 + 5^2 - 7^2}{2\cdot 6\cdot 5} = \frac{36+25-49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

したがって、$\cos C = \frac{1}{5}$

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$より、

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin C > 0$より、$\sin C = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

したがって、$\sin C = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

面積$S = \frac{1}{2} CA \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}$

したがって、$S = 6\sqrt{6}$

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = 2R$, つまり $R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{7}{2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{7 \cdot 5}{4\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

したがって、$R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

$S = r \cdot \frac{AB+BC+CA}{2}$より、$6\sqrt{6} = r \cdot \frac{7+5+6}{2} = r \cdot \frac{18}{2} = 9r$

したがって、$r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

したがって、$r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

(2)

$\triangle ADC$において、$CD = BC\cos C = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$

したがって、$CD = 1$

$\triangle BEC$において、$CE = AC\cos C = 6 \cdot \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

したがって、$CE = \frac{6}{5}$

$AD \perp BC$、$BE \perp AC$なので、$\triangle CDE$は$\triangle CAB$と相似である。

相似比は$CD:CA = 1:6$または$CE:CB = 6/5:5 = 6:25$ではないので間違い

$\triangle CDE$と$\triangle CAB$は相似であり、その相似比は$CD/CA = CE/CB$でないので、

$\angle C$は共通なので、$CA \cdot CE = CB \cdot CD = 6$である。

$\triangle CDE \sim \triangle CAB$であり、$DE/AB = CD/CA = CE/CB = 1/5$

したがって、$DE = \frac{1}{5} AB = \frac{7}{5}$

$CH = 2R\cos A\cos B$を計算

$DE = \frac{7}{5}$

$S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} c a \sin B$

$AC = 6$より$\sin A = \frac{2 S}{b c} = \frac{12\sqrt{6}}{35}$

$BC = 5$より$\sin B = \frac{2 S}{c a} = \frac{12\sqrt{6}}{42} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$\cos A = \frac{7^2 + 6^2 - 5^2}{2\cdot 7 \cdot 6} = \frac{49+36-25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

$\cos B = \frac{7^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49+25-36}{70} = \frac{38}{70} = \frac{19}{35}$

$CH = \frac{12\sqrt{6}}{35} \cdot \frac{35}{4\sqrt{6}} \cdot 2 \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{19}{35} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} = ?$

$CH= 2R \cos C =$

3. 最終的な答え

(1)

$\cos C = \frac{1}{5}$

$\sin C = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$S = 6\sqrt{6}$

$R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

$r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

(2)

$CD = 1$

$CE = \frac{6}{5}$

$DE = \frac{7}{5}$

$CH = \frac{38}{5}$