直角三角形ABCがあり、$AB = 10$ cm, $BC = 8$ cm, $AC = 6$ cmである。点PはBを出発して辺BA, AC上をBからCまで動く。点PがBから$x$ cm動いたときの三角形PBCの面積を$y$ cm$^2$とする。以下の問いに答える。 (1) 点PがBから5 cm動いたときの三角形PBCの面積を求めよ。 (2) $x$と$y$の関係を表すグラフをかけ。 (3) 三角形PBCの面積が20 cm$^2$となる$x$の値を全て求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、$AB = 10$ cm, $BC = 8$ cm, $AC = 6$ cmである。点PはBを出発して辺BA, AC上をBからCまで動く。点PがBから$x$ cm動いたときの三角形PBCの面積を$y$ cm$^2$とする。以下の問いに答える。

(1) 点PがBから5 cm動いたときの三角形PBCの面積を求めよ。

(2) $x$と$y$の関係を表すグラフをかけ。

(3) 三角形PBCの面積が20 cm$^2$となる$x$の値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点PがBから5cm動いたとき、$BP = 5$ cmである。

三角形PBCの面積$y$は、底辺をBC、高さをBPとみなして求めることができる。

ただし、点Pが辺BA上にある場合に限る。

面積$y$は、

$y = \frac{1}{2} \times BC \times BP \times \sin{\angle B}$

である。$\sin{\angle B}$は$\frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$と求められる。

よって、$y = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \frac{3}{5} = 12$ cm$^2$

$BP = x = 5$ cmは、$AB = 10$ cmより、$0 \le x \le 10$を満たすので、この結果は有効である。

(2)

点Pが辺BA上にあるとき ($0 \le x \le 10$), $y = \frac{1}{2} \times 8 \times x \times \frac{3}{5} = \frac{12}{5}x$

点Pが辺AC上にあるとき ($10 \le x \le 16$), 点PがBから$x$ cm移動した場合、BCを底辺としたときの高さhを求める。

このとき、$x = 10 + (x-10)$であり、$AP = x-10$である。$\angle C = 90^\circ$

$PC = AC - AP = 6 - (x-10) = 16 - x$

面積$y$は、

$y = \frac{1}{2} \times BC \times h$

$y = \frac{1}{2} \times (6- (x-10))\times 8 = 4(16-x) = 64 - 4x$

となる。

グラフは、$0 \le x \le 10$ のとき、$y = \frac{12}{5}x$の直線

$10 \le x \le 16$ のとき、$y = 64 - 4x$の直線

になる。

$x=0$のとき、$y=0$

$x=10$のとき、$y=24$

$x=16$のとき、$y=0$

これらの点を結ぶ。

(3)

三角形PBCの面積が20 cm$^2$となる$x$の値を求める。

$0 \le x \le 10$のとき、

$\frac{12}{5}x = 20$

$x = \frac{20 \times 5}{12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$

$10 \le x \le 16$のとき、

$64 - 4x = 20$

$4x = 44$

$x = 11$

$\frac{25}{3} \approx 8.33$なので、$0 \le x \le 10$を満たす。

$x=11$も、$10 \le x \le 16$を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 12 cm$^2$

(2) グラフは省略

(3) $x = \frac{25}{3}, 11$