円Oに内接する四角形ABCDがあり、その辺の長さはAB=5, BC=CD=4, DA=1である。 (1) 対角線ACの長さ、∠ABC、四角形ABCDの面積S、円Oの面積Tを求める。 (2) ∠DAB=θとして、cosθと対角線BDの長さを求める。 (3) 対角線AC, BDの交点をEとし、∠AEB=αとして、sinαを求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に回答します。

1. 問題の内容

円Oに内接する四角形ABCDがあり、その辺の長さはAB=5, BC=CD=4, DA=1である。

(1) 対角線ACの長さ、∠ABC、四角形ABCDの面積S、円Oの面積Tを求める。

(2) ∠DAB=θとして、cosθと対角線BDの長さを求める。

(3) 対角線AC, BDの交点をEとし、∠AEB=αとして、sinαを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 対角線ACの長さ:

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$。

また、四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC$。

同様に余弦定理より、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC} = AD^2 + CD^2 + 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ABC}$。

これら2つの式から、$5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos{\angle ABC} = 1^2 + 4^2 + 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot \cos{\angle ABC}$。

$25 + 16 - 40\cos{\angle ABC} = 1 + 16 + 8\cos{\angle ABC}$

$24 = 48\cos{\angle ABC}$

$\cos{\angle ABC} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle ABC = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$

$AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 25 + 16 - 20 = 21$

$AC = \sqrt{21}$

* 四角形ABCDの面積S:

$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} + \frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin{\angle ADC}$

$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 120^{\circ}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin{60^{\circ}} + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \sin{120^{\circ}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} + \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

* 円Oの面積T:

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R$（Rは円Oの半径）。

$\frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7}$

$R = \sqrt{7}$

$T = \pi R^2 = 7\pi$

(2)

* cosθ:

余弦定理より、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\theta}$

$BD^2 = 5^2 + 1^2 - 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \cos{\theta} = 26 - 10\cos{\theta}$

また、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{(180^{\circ} - \theta)} = BC^2 + CD^2 + 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\theta} = 4^2 + 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos{\theta} = 32 + 32\cos{\theta}$

$26 - 10\cos{\theta} = 32 + 32\cos{\theta}$

$-6 = 42\cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -\frac{6}{42} = -\frac{1}{7}$

* 対角線BDの長さ:

$BD^2 = 32 + 32\cos{\theta} = 32 + 32(-\frac{1}{7}) = 32 - \frac{32}{7} = \frac{224 - 32}{7} = \frac{192}{7}$

$BD = \sqrt{\frac{192}{7}} = \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{7}} = 8\sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{8\sqrt{21}}{7}$

(3)

* sinα:

四角形ABCDの面積は$6\sqrt{3}$。

また、S = $\frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin{\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{21} \cdot \frac{8\sqrt{21}}{7} \cdot \sin{\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8 \cdot 21}{7} \cdot \sin{\alpha} = \frac{84}{7} \sin{\alpha} = 12 \sin{\alpha}$.

よって、$12\sin{\alpha} = 6\sqrt{3}$

$\sin{\alpha} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) AC = $\sqrt{21}$, ∠ABC = $\frac{\pi}{3}$, S = $6\sqrt{3}$, T = $7\pi$

(2) cosθ = $-\frac{1}{7}$, BD = $\frac{8\sqrt{21}}{7}$

(3) sinα = $\frac{\sqrt{3}}{2}$