三角形OABにおいて、辺OAの中点をD、辺OBを3:1に内分する点をE、辺ABを3:1に外分する点をFとする。このとき、3点D, E, Fが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAの中点をD、辺OBを3:1に内分する点をE、辺ABを3:1に外分する点をFとする。このとき、3点D, E, Fが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とおく。

点Dは辺OAの中点なので、

$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}$

点Eは辺OBを3:1に内分するので、

$\vec{OE} = \frac{3\vec{b}}{3+1} = \frac{3}{4}\vec{b}$

点Fは辺ABを3:1に外分するので、

$\vec{OF} = \frac{-1\vec{a}+3\vec{b}}{3-1} = \frac{-\vec{a}+3\vec{b}}{2} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}$

次に、$\vec{DE}$と$\vec{DF}$を計算する。

$\vec{DE} = \vec{OE} - \vec{OD} = \frac{3}{4}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

$\vec{DF} = \vec{OF} - \vec{OD} = (-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}) - \frac{1}{2}\vec{a} = -\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}$

ここで、$\vec{DF} = k\vec{DE}$となる実数kが存在すれば、3点D, E, Fは一直線上にある。

$\vec{DF} = -\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b} = 2(-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}) = 2\vec{DE}$

したがって、$\vec{DF} = 2\vec{DE}$となるので、3点D, E, Fは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点D, E, Fは一直線上にある。