楕円 $4x^2 + 2y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

楕円 $4x^2 + 2y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、楕円の式を標準形に変形します。

$4x^2 + 2y^2 = 1$

両辺を $1$ で割ると

$\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/2} = 1$

$\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{1/2})^2} = 1$

これは楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ で $a = \frac{1}{2}$ 、 $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ に対応します。

この楕円の面積は $S = \pi ab$ で求められます。

したがって、

$S = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sqrt{2}}{4}$