問題22：図の斜線部分の面積を求める問題です。2つの直線 $y = 3x + 2$ と $y = -2x + 7$ で囲まれた部分の面積を計算します。

1. 問題の内容

問題22：図の斜線部分の面積を求める問題です。2つの直線 $y = 3x + 2$ と $y = -2x + 7$ で囲まれた部分の面積を計算します。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線の交点を求めます。

$3x + 2 = -2x + 7$

$5x = 5$

$x = 1$

このとき、$y = 3(1) + 2 = 5$。

したがって、交点の座標は $(1, 5)$ です。

次に、$y = 3x + 2$ と $x$ 軸との交点を求めます。$y = 0$ とすると、

$3x + 2 = 0$

$3x = -2$

$x = -\frac{2}{3}$

したがって、この交点の座標は $(-\frac{2}{3}, 0)$ です。

同様に、$y = -2x + 7$ と $x$ 軸との交点を求めます。$y = 0$ とすると、

$-2x + 7 = 0$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2}$

したがって、この交点の座標は $(\frac{7}{2}, 0)$ です。

求める面積は、原点 $(0, 0)$、$(1, 5)$、$(\frac{7}{2}, 0)$ を頂点とする三角形から、原点 $(0, 0)$、$(1, 5)$、$(-\frac{2}{3}, 0)$ を頂点とする三角形を引いたものに等しくなります。

ただし、今回の問題では、原点、2つの直線の交点、2つの直線の$x$切片で囲まれた図形の面積を求めるため、少し考え方を変えます。

$y = 3x + 2$ の $y$ 切片は $(0, 2)$ です。

$y = -2x + 7$ の $y$ 切片は $(0, 7)$ です。

したがって、求める面積は、底辺が $(7 - 2) = 5$ で高さが $x = 1$ の三角形の面積です。

面積 $= \frac{1}{2} \times 5 \times 1 = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$