辺の長さが1の正三角形OABにおいて、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$とする。定数s, tが次の条件を満たすとき、点Pの存在する範囲の面積をそれぞれ求めよ。 (1) $0 \le s+t \le \frac{1}{2}$, $s \ge 0$, $t \ge 0$ (2) $0 \le 2s+t \le 1$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

1. 問題の内容

辺の長さが1の正三角形OABにおいて、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$とする。定数s, tが次の条件を満たすとき、点Pの存在する範囲の面積をそれぞれ求めよ。

(1) $0 \le s+t \le \frac{1}{2}$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

(2) $0 \le 2s+t \le 1$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) $0 \le s+t \le \frac{1}{2}$, $s \ge 0$, $t \ge 0$について考える。

$s+t = k$とおくと、$t = -s+k$となる。ここで、$0 \le k \le \frac{1}{2}$である。

$s \ge 0$, $t \ge 0$より、$0 \le s \le k$である。

$k=0$のとき、点Pは原点Oに一致する。

$k=\frac{1}{2}$のとき、点Pは線分OAの中点と線分OBの中点を結ぶ線分上を動く。

したがって、点Pの存在する範囲は、三角形OABと相似な三角形で、相似比が$\frac{1}{2}$の三角形になる。

正三角形OABの面積は$\frac{\sqrt{3}}{4}$であるから、点Pの存在する範囲の面積は$\frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}$となる。

(2) $0 \le 2s+t \le 1$, $s \ge 0$, $t \ge 0$について考える。

$2s+t = k$とおくと、$t = -2s+k$となる。ここで、$0 \le k \le 1$である。

$s \ge 0$, $t \ge 0$より、$0 \le s \le \frac{k}{2}$である。

$k=0$のとき、点Pは原点Oに一致する。

$k=1$のとき、$t = -2s+1$となる。

$s=0$のとき、$t=1$となり、点Pは点Bに一致する。

$t=0$のとき、$s=\frac{1}{2}$となり、点Pは線分OAの中点に一致する。

点Pの存在する範囲は、O, B, 線分OAの中点を頂点とする三角形である。

この三角形の面積は、正三角形OABの面積の$\frac{1}{2}$倍である。

したがって、点Pの存在する範囲の面積は$\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{16}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{8}$