三角形ABCがあり、$AB=3, BC=5, \angle ABC = 120^{\circ}$です。この三角形の外接円上に点Pを取り、四角形ABCPを作ります。以下の問題を解きます。 (1) 辺ACの長さを求めます。 (2) 辺CPの長さの最大値を求めます。 (3) 辺ABと辺CPが平行になるときのCPの長さを求めます。 (4) 四角形ABCPの面積が最大となるCPの値を求め、その時の面積の最大値を求めます。さらに、その時のACとBPの交点をQとするとき、AQの値を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB=3, BC=5, \angle ABC = 120^{\circ}$です。この三角形の外接円上に点Pを取り、四角形ABCPを作ります。以下の問題を解きます。

(1) 辺ACの長さを求めます。

(2) 辺CPの長さの最大値を求めます。

(3) 辺ABと辺CPが平行になるときのCPの長さを求めます。

(4) 四角形ABCPの面積が最大となるCPの値を求め、その時の面積の最大値を求めます。さらに、その時のACとBPの交点をQとするとき、AQの値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos{120^{\circ}}$

$AC^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 34 + 15 = 49$

$AC = 7$

(2) $\angle ABC = 120^\circ$ なので、円周角の定理より、$\angle APC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$。

CPが最大となるのは、CPが円の直径となるとき。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin{120^\circ}} = 2R$ ($R$は外接円の半径)。

$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$CP=2R$となる場合を考えると、$\angle CAP=90^\circ$となるから、

$\frac{CP}{\sin\angle BAC} = 2R$。

CPが最大となるのはPがAの対側の位置に来るときで、$CP=2R$となる。

$CP = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

(3) ABとCPが平行なので、四角形ABCPは等脚台形となる。

$\angle ABC = 120^{\circ}$なので、$\angle BCP = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

$\angle BAC = \theta$とおくと、$\frac{5}{\sin\theta} = \frac{7}{\sin{120^{\circ}}}$より、$\sin\theta = \frac{5 \sin{120^{\circ}}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$

$\angle BPC = \angle BAC$となる。$\angle ABP = \angle ACP$

$\angle ACB = 180^\circ - 120^\circ - \theta = 60^{\circ} - \theta$.

$\triangle ABC$で正弦定理を用いると、$\frac{AC}{\sin 120^\circ} = \frac{3}{\sin (60^\circ - \theta)}$

$\angle PAC = \angle PBC$。

$\angle ACP = \angle ABP$.

CP=3

(4) 四角形ABCPの面積は、$\triangle ABC + \triangle APC$で表される。$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin{120^{\circ}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$。

$\triangle APC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CP \cdot \sin{60^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot CP \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}CP}{4}$

面積 $S = \frac{15\sqrt{3}}{4} + \frac{7\sqrt{3}}{4} CP = \frac{\sqrt{3}}{4} (15+7CP)$

ここで、点Pの位置によってCPが変化し、面積も変化する。

CPが最大の時、ABとCPが平行になるときを考えたので、このときCP=3であり面積は最大。

$AB || CP$ の時、面積は $S = \frac{\sqrt{3}}{4}(15+7 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} (15+21) = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$

CP=3のとき最大値$9\sqrt{3}$をとる。

このとき、ACとBPの交点をQとすると、$\triangle ABQ \sim \triangle CPQ$

$\frac{AQ}{QC} = \frac{AB}{CP} = \frac{3}{3} = 1$. $AQ=QC$

$AQ = \frac{1}{2} AC = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) AC = 7

(2) CPの最大値は $\frac{14\sqrt{3}}{3}$

(3) CP = 3

(4) CP = 3 のとき最大値 $9\sqrt{3}$をとる。AQ = $\frac{7}{2}$