(1) 3点 $A(-1, 4)$, $B(-4, -3)$, $C(8, 3)$ について、点 $A$ を通り、直線 $BC$ に垂直な直線の方程式を求める。 (2) 直線 $l_1: x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ と直線 $l_2: \sqrt{3}x + 3y + 1 = 0$ がなす鋭角 $\alpha$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点 $A(-1, 4)$, $B(-4, -3)$, $C(8, 3)$ について、点 $A$ を通り、直線 $BC$ に垂直な直線の方程式を求める。

(2) 直線 $l_1: x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ と直線 $l_2: \sqrt{3}x + 3y + 1 = 0$ がなす鋭角 $\alpha$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、直線 $BC$ の傾き $m_{BC}$ を計算する。

$m_{BC} = \frac{3 - (-3)}{8 - (-4)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

点 $A$ を通り、$BC$ に垂直な直線の傾き $m$ は、$m \cdot m_{BC} = -1$ を満たすので、

$m = - \frac{1}{m_{BC}} = -2$

点 $A(-1, 4)$ を通り、傾きが $-2$ の直線の方程式は、

$y - 4 = -2(x - (-1))$

$y - 4 = -2(x + 1)$

$y - 4 = -2x - 2$

$y = -2x + 2$

したがって、求める直線の方程式は、$y = -2x + 2$である。

(2)

直線 $l_1: x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ を変形すると、$\sqrt{3}y = x + 3$ より $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ なので、直線 $l_1$ の傾きは $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

直線 $l_2: \sqrt{3}x + 3y + 1 = 0$ を変形すると、$3y = -\sqrt{3}x - 1$ より $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{1}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{1}{3}$ なので、直線 $l_2$ の傾きは $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

2直線のなす角を $\theta$ とすると、

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}} (-\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \left| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{3}{\sqrt{3}} \right| = \sqrt{3}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ である。

鋭角 $\alpha$ は $60^{\circ}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x + 2$

(2) $\alpha = 60^{\circ}$