与えられた問題は、ベクトルに関する様々な計算問題です。 具体的には、ベクトルの大きさ、ベクトルの和、ベクトルのスカラー倍、ベクトルの内積、ベクトルが垂直または平行になる条件、単位ベクトルになる条件、線分の内分点の位置ベクトルと座標、平行四辺形の辺の長さと角度が与えられたときの内積と対角線の長さを求める問題が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた問題は、ベクトルに関する様々な計算問題です。

具体的には、ベクトルの大きさ、ベクトルの和、ベクトルのスカラー倍、ベクトルの内積、ベクトルが垂直または平行になる条件、単位ベクトルになる条件、線分の内分点の位置ベクトルと座標、平行四辺形の辺の長さと角度が与えられたときの内積と対角線の長さを求める問題が含まれています。

2. 解き方の手順

以下に、問題3、4、5の解き方の手順を示します。

**問題3**

$\vec{a} = (\frac{1}{2}, k)$, $\vec{b} = (-4, k-1)$

(1) $\vec{a}$と$\vec{b}$が垂直になる条件は、内積が0になることです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$(\frac{1}{2})(-4) + k(k-1) = 0$

$-2 + k^2 - k = 0$

$k^2 - k - 2 = 0$

$(k-2)(k+1) = 0$

$k = 2, -1$

(2) $\vec{a}$と$\vec{b}$が平行になる条件は、$\vec{a} = t\vec{b}$となる実数$t$が存在することです。

$\frac{1}{2} = -4t$ より $t = -\frac{1}{8}$.

$k = t(k-1) = -\frac{1}{8}(k-1)$

$8k = -k + 1$

$9k = 1$

$k = \frac{1}{9}$

(3) $\vec{a}$が単位ベクトルになる条件は、$\left|\vec{a}\right| = 1$となることです。

$\left|\vec{a}\right| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + k^2} = 1$

$\frac{1}{4} + k^2 = 1$

$k^2 = \frac{3}{4}$

$k = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

**問題4**

A(-1, 2), B(3, 4)

(1) $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

(2) $\vec{AB} = (3 - (-1), 4 - 2) = (4, 2)$

(3) 線分ABを2:3に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$は、

$\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{2+3} = \frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}$

(4) 点Pの座標は、

$\vec{OP} = \frac{3(-1, 2) + 2(3, 4)}{5} = \frac{(-3+6, 6+8)}{5} = (\frac{3}{5}, \frac{14}{5})$

**問題5**

平行四辺形ABCDにおいて、AB=3, AD=2, $\angle BAD = \frac{\pi}{3}$

(1) $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = \left|\vec{AD}\right| \left|\vec{AB}\right| \cos{\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$

(2) 対角線ACの長さは、$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$より、

$\left|\vec{AC}\right|^2 = \left|\vec{AB} + \vec{AD}\right|^2 = \left|\vec{AB}\right|^2 + 2\vec{AB}\cdot\vec{AD} + \left|\vec{AD}\right|^2 = 3^2 + 2(3) + 2^2 = 9 + 6 + 4 = 19$

$\left|\vec{AC}\right| = \sqrt{19}$

3. 最終的な答え

**問題3**

(1) $k=2, -1$

(2) $k=\frac{1}{9}$

(3) $k = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

**問題4**

(1) $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

(2) $\vec{AB} = (4, 2)$

(3) $\vec{OP} = \frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}$

(4) P$(\frac{3}{5}, \frac{14}{5})$

**問題5**

(1) $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 3$

(2) $\left|\vec{AC}\right| = \sqrt{19}$