与えられた2次方程式 $ax^2 - bx + c = 0$ の解が $x = \frac{7 - \sqrt{41}}{4}$ と $x = \frac{7 + \sqrt{41}}{4}$ であるとき、$a, b, c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $ax^2 - bx + c = 0$ の解が $x = \frac{7 - \sqrt{41}}{4}$ と $x = \frac{7 + \sqrt{41}}{4}$ であるとき、$a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた解を $\alpha = \frac{7 - \sqrt{41}}{4}$ と $\beta = \frac{7 + \sqrt{41}}{4}$ とします。

解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = \frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

まず、$\alpha + \beta$ を計算します。

$\alpha + \beta = \frac{7 - \sqrt{41}}{4} + \frac{7 + \sqrt{41}}{4} = \frac{7 - \sqrt{41} + 7 + \sqrt{41}}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

次に、$\alpha \beta$ を計算します。

$\alpha \beta = \frac{7 - \sqrt{41}}{4} \cdot \frac{7 + \sqrt{41}}{4} = \frac{(7 - \sqrt{41})(7 + \sqrt{41})}{16} = \frac{49 - 41}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{b}{a} = \frac{7}{2}$

$\frac{c}{a} = \frac{1}{2}$

これらの式を満たす整数 $a, b, c$ を見つけます。

$a = 2$ とすると、$b = 7$ かつ $c = 1$ となります。

したがって、2次方程式は $2x^2 - 7x + 1 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(30) = 2

(31) = 7

(32) = 1