2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ の定義域 $-1 \le x \le 3$ における、最小値と最大値を求め、それぞれの$x$の値を答える。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ の定義域 $-1 \le x \le 3$ における、最小値と最大値を求め、それぞれの$x$の値を答える。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 8x + 5$

$y = 2(x^2 - 4x) + 5$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$

$y = 2((x - 2)^2 - 4) + 5$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 5$

$y = 2(x - 2)^2 - 3$

したがって、頂点の座標は$(2, -3)$であり、下に凸のグラフであることがわかります。

次に、定義域 $-1 \le x \le 3$ を考慮します。頂点のx座標$x = 2$は定義域内に含まれています。

最小値は、頂点$x = 2$のときにとり、その値は$y = -3$です。

最大値を求めるには、定義域の端点$x = -1$と$x = 3$における$y$の値を比較します。

$x = -1$のとき、

$y = 2(-1 - 2)^2 - 3 = 2(-3)^2 - 3 = 2(9) - 3 = 18 - 3 = 15$

$x = 3$のとき、

$y = 2(3 - 2)^2 - 3 = 2(1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1$

$x = -1$のときの$y$の値が最大なので、最大値は$15$であり、$x = -1$のときにとります。

3. 最終的な答え

最小値をとる時のx座標は2

最小値は-3

最大値をとる時のx座標は-1

最大値は15

(33) 2

(34) -3

(35)

(36) -1

(37)

(38) 15

(39)