以下の4つの2x2行列の逆行列を求める問題です。 (1) $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} -6 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ (4) $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

はい、承知いたしました。与えられた行列の逆行列を求めます。

1. 問題の内容

以下の4つの2x2行列の逆行列を求める問題です。

(1) $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} -6 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

2x2行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ は、行列式 $\det(A) = ad - bc$ が0でないとき、以下の式で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

(1) $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}$ の場合:

$\det(A) = (3)(-2) - (-2)(7) = -6 + 14 = 8$

$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/4 & 1/4 \\ -7/8 & 3/8 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ の場合:

$\det(A) = (2)(6) - (-1)(3) = 12 + 3 = 15$

$A^{-1} = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/5 & 1/15 \\ -1/5 & 2/15 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} -6 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ の場合:

$\det(A) = (-6)(2) - (2)(-1) = -12 + 2 = -10$

$A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/5 & 1/5 \\ -1/10 & 3/5 \end{pmatrix}$

(4) $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ の場合:

$\det(A) = (2)(5) - (5)(1) = 10 - 5 = 5$

$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1/5 & 2/5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -1/4 & 1/4 \\ -7/8 & 3/8 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 2/5 & 1/15 \\ -1/5 & 2/15 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} -1/5 & 1/5 \\ -1/10 & 3/5 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1/5 & 2/5 \end{pmatrix}$