50人の生徒の通学方法について、電車、バス、自転車の利用状況が与えられています。 電車利用者22人、バス利用者20人、自転車利用者15人、電車とバスの利用者9人、バスと自転車の利用者5人、自転車と電車の利用者6人、どれも利用しない人は10人です。 (1)電車、バス、自転車のどれかを利用する人数を求めます。 (2)電車、バス、自転車のすべてを利用する人数を求めます。

1. 問題の内容

50人の生徒の通学方法について、電車、バス、自転車の利用状況が与えられています。

電車利用者22人、バス利用者20人、自転車利用者15人、電車とバスの利用者9人、バスと自転車の利用者5人、自転車と電車の利用者6人、どれも利用しない人は10人です。

(1)電車、バス、自転車のどれかを利用する人数を求めます。

(2)電車、バス、自転車のすべてを利用する人数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、電車、バス、自転車のどれかを利用する人の数を求めます。

全体50人のうち、どれも利用しない人が10人なので、どれかを利用する人は$50 - 10 = 40$人です。

次に、包除原理を用いて、どれかを利用する人数を計算します。

電車のみ、バスのみ、自転車のみの利用者をそれぞれ$n(電車), n(バス), n(自転車)$で表すと、求める人数は、

$n(電車 \cup バス \cup 自転車) = n(電車) + n(バス) + n(自転車) - n(電車 \cap バス) - n(バス \cap 自転車) - n(自転車 \cap 電車) + n(電車 \cap バス \cap 自転車)$

与えられた数値を代入すると、

$n(電車 \cup バス \cup 自転車) = 22 + 20 + 15 - 9 - 5 - 6 + n(電車 \cap バス \cap 自転車)$

$n(電車 \cup バス \cup 自転車) = 37 + n(電車 \cap バス \cap 自転車)$

これが40人に等しいので、

$40 = 37 + n(電車 \cap バス \cap 自転車)$

$n(電車 \cap バス \cap 自転車) = 3$

(2)

(1)より、電車、バス、自転車のすべてを利用する人数は3人です。

3. 最終的な答え

(1) 40人

(2) 3人