1から5までの数字が書かれた赤玉と青玉がそれぞれ5個ずつ、合計10個ある。この10個の玉から3個を取り出して並べるとき、赤玉が2個以上になる場合の数を求めよ。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれた赤玉と青玉がそれぞれ5個ずつ、合計10個ある。この10個の玉から3個を取り出して並べるとき、赤玉が2個以上になる場合の数を求めよ。

2. 解き方の手順

赤玉が2個以上になるのは、赤玉が2個の場合と3個の場合がある。それぞれの場合の数を求めて、それらを足し合わせる。

(1) 赤玉が2個の場合

まず、赤玉2個の数字の選び方を考える。赤玉は5個あり、そのうち2個を選ぶので、その選び方は ${}_5 C_2$通りである。

次に、残りの1個は青玉である。青玉は5個あり、そのうち1個を選ぶので、その選び方は ${}_5 C_1$通りである。

選んだ3個の玉を並べる順序は3! = 6通りある。

したがって、赤玉が2個の場合の数は、

${}_5 C_2 \times {}_5 C_1 \times 3! = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 5 \times 6 = 10 \times 5 \times 6 = 300$通り

(2) 赤玉が3個の場合

赤玉3個の数字の選び方は、${}_5 C_3$通りである。

選んだ3個の玉を並べる順序は3! = 6通りある。

したがって、赤玉が3個の場合の数は、

${}_5 C_3 \times 3! = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 6 = 10 \times 6 = 60$通り

(3) 合計

赤玉が2個の場合と3個の場合を足し合わせると、

$300 + 60 = 360$通り

3. 最終的な答え

360通り