自然数 $n$ に対して、$4^n - 1$ が3の倍数であることを数学的帰納法で証明します。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$4^n - 1$ が3の倍数であることを数学的帰納法で証明します。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき、$4^1 - 1 = 3$ となり、3の倍数であるため、成立します。

(2) $n=k$ のとき、$4^k - 1$ が3の倍数であると仮定します。つまり、$4^k - 1 = 3m$ (mは整数) と表せると仮定します。

(3) $n=k+1$ のとき、$4^{k+1} - 1$ が3の倍数であることを示します。

$4^{k+1} - 1$ を変形すると、

$4^{k+1} - 1 = 4 \cdot 4^k - 1 = 4 \cdot (3m + 1) - 1 = 12m + 4 - 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1)$

$4m + 1$ は整数であるため、$3(4m+1)$ は3の倍数です。

したがって、$n=k+1$ のときも $4^{k+1} - 1$ は3の倍数であることが示されました。

(4) 以上の(1)～(3)より、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して $4^n - 1$ は3の倍数であることが証明されました。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$4^n - 1$ は3の倍数である。