2次関数 $f(x) = -x^2 + 4ax + 1$ が与えられています。 (1) $y = f(x)$ のグラフが点 (2, 5) を通るときの $a$ の値を求めます。 (2) $2 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最小値を $a$ の値によって場合分けして求めます。 (3) $2 < x < 4$ のすべての $x$ で $f(x) > 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 4ax + 1$ が与えられています。

(1) $y = f(x)$ のグラフが点 (2, 5) を通るときの $a$ の値を求めます。

(2) $2 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最小値を $a$ の値によって場合分けして求めます。

(3) $2 < x < 4$ のすべての $x$ で $f(x) > 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^2 + 4ax + 1$ に $x = 2$, $y = 5$ を代入します。

$5 = -2^2 + 4a(2) + 1$

$5 = -4 + 8a + 1$

$8a = 8$

$a = 1$

(2) $f(x) = -x^2 + 4ax + 1$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 4ax) + 1 = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) + 1 = -(x - 2a)^2 + 4a^2 + 1$

軸は $x = 2a$ です。定義域は $2 \le x \le 4$ です。

(i) $2a < 2$ つまり $a < 1$ のとき、最小値は $x = 4$ のとき。

$f(4) = -4^2 + 4a(4) + 1 = -16 + 16a + 1 = 16a - 15$

(ii) $2 \le 2a \le 4$ つまり $1 \le a \le 2$ のとき、$x=4$ の時の値と $x=2$ の時の値の小さい方が最小値

$f(2) = -2^2 + 4a(2) + 1 = -4 + 8a + 1 = 8a -3$

$f(4) = 16a-15$

$f(4) - f(2) = (16a-15) - (8a-3) = 8a -12$

$8a-12 < 0$ の時、$a < \frac{3}{2}$

$f(4) - f(2) \ge 0$ の時、$a \ge \frac{3}{2}$

したがって、$1 \le a < \frac{3}{2}$のとき、最小値は$f(4) = 16a - 15$

$\frac{3}{2} \le a \le 2$ のとき、最小値は $f(2) = 8a -3$

最小値は、$x=4$ で $16a-15$

(iii) $4 < 2a$ つまり $2 < a$ のとき、最小値は $x = 2$ のとき。

$f(2) = -2^2 + 4a(2) + 1 = -4 + 8a + 1 = 8a - 3$

まとめると、

$a < 1$ のとき、最小値は $16a - 15$

$1 \le a$ のとき、最小値は $x=4$ で $f(4) = -15 + 16a$。

(3) $2 < x < 4$ において、$f(x) > 0$ となる条件を考えます。

$f(x) = -(x - 2a)^2 + 4a^2 + 1 > 0$

$g(x) = -x^2 + 4ax + 1$ とおくと、$g(2) > 0$ かつ $g(4) > 0$ であればよい。

$g(2) = -4 + 8a + 1 = 8a - 3 > 0$ より $a > \frac{3}{8}$

$g(4) = -16 + 16a + 1 = 16a - 15 > 0$ より $a > \frac{15}{16}$

$g(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = 2a \pm \sqrt{4a^2 + 1}$ です。

$x = 2a \pm \sqrt{4a^2 + 1}$ が $2 < x < 4$ の範囲に含まれないことが必要です。

$\frac{15}{16} < a$

3. 最終的な答え

(1) ア = 1

(2) イ = 1, ウ = 1, エオ = 1, カキ = 5

イ = 1, ウ = 1, ク = 8, ケ = 3

(3) コ = 1, サシ = 15/16, スセ = 15/16