$\sqrt{\frac{756}{x}}$ が整数となるような自然数 $x$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{756}{x}}$ が整数となるような自然数 $x$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、756を素因数分解します。

$756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$

$\sqrt{\frac{756}{x}}$ が整数となるためには、$\frac{756}{x}$ が平方数（整数の2乗）である必要があります。

つまり、ある整数 $n$ が存在して、$\frac{756}{x} = n^2$ となる必要があります。

この式を変形すると、$x = \frac{756}{n^2}$ となります。

$x$ は自然数なので、$n^2$ は756の約数である必要があります。

$\frac{756}{x}$ が平方数になるためには、$\frac{756}{x}$ の素因数分解において、すべての素数の指数が偶数である必要があります。

$756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$ なので、$x$ は $3 \times 7 = 21$ の倍数である必要があります。

$x$ を $21k$ （$k$は自然数）と表すと、

$\frac{756}{x} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 7}{21k} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 7}{3 \times 7 \times k} = \frac{2^2 \times 3^2}{k} = \frac{36}{k}$

$\frac{36}{k}$ が平方数になるためには、$k$ が以下の値をとる必要があります。

$k = 1 \Rightarrow \frac{36}{1} = 36 = 6^2$

$k = 4 \Rightarrow \frac{36}{4} = 9 = 3^2$

$k = 9 \Rightarrow \frac{36}{9} = 4 = 2^2$

$k = 36 \Rightarrow \frac{36}{36} = 1 = 1^2$

したがって、$x = 21k$ より、

$x = 21 \times 1 = 21$

$x = 21 \times 4 = 84$

$x = 21 \times 9 = 189$

$x = 21 \times 36 = 756$

3. 最終的な答え

$x = 21, 84, 189, 756$