(1) $x, y$ は実数とする。命題「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」の逆と裏を述べ、それらの真偽を調べる。 (2) $n$ は整数とする。命題「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を対偶を用いて証明する。

1. 問題の内容

(1) $x, y$ は実数とする。命題「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」の逆と裏を述べ、それらの真偽を調べる。

(2) $n$ は整数とする。命題「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を対偶を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1)

元の命題を $P \Rightarrow Q$ とする。ここで、

$P$: $x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数

$Q$: $x, y$ の少なくとも一方は無理数

逆は $Q \Rightarrow P$ なので、「$x, y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数である」

裏は $\neg P \Rightarrow \neg Q$ なので、「$x-y, xy$ がともに有理数ならば、$x, y$ はともに有理数である」

(a) 逆の真偽

$x = \sqrt{2}, y = 1$ のとき、$x$ は無理数、$y$ は有理数なので、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である。しかし、$x-y = \sqrt{2} - 1$ は無理数、$xy = \sqrt{2}$ も無理数なので、$x-y, xy$ の少なくとも一方は無理数である。

$x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$ のとき、$x$ は無理数、$y$ は無理数なので、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である。しかし、$x-y = 2\sqrt{2}$ は無理数、$xy = -2$ は有理数なので、$x-y, xy$ の少なくとも一方は無理数である。

逆は真である。

(b) 裏の真偽

$x-y, xy$ がともに有理数であるとき、$x, y$ がともに有理数であるかどうかを調べる。

例えば、$x-y = 1, xy = 0$ のとき、$x=1, y=0$ となり、$x, y$ はともに有理数である。

また、$x-y = 0, xy = 1$ のとき、$x=1, y=1$ または $x=-1, y=-1$ となり、$x, y$ はともに有理数である。

$x-y = a, xy = b$ ($a, b$ は有理数) のとき、$y = x - a$ なので、$x(x-a) = b$ より $x^2 - ax - b = 0$ となる。

$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4b}}{2}$ となる。$a^2 + 4b$ が有理数の平方であれば、$x$ は有理数となり、$y$ も有理数となる。

例えば、$x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$ のとき、$x - y = 2\sqrt{2}$ は無理数、$xy = -2$ は有理数である。

裏は偽である。

反例として、$x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$ が挙げられる。このとき、$x-y = 2\sqrt{2}, xy = -2$ となり、$x-y, xy$ がともに有理数とはならない。

(2)

$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数であることを対偶を使って証明する。

対偶は「$n$ が奇数ならば、$3n$ は奇数である」

$n$ が奇数であるとき、$n = 2k+1$ ($k$ は整数) と表せる。

このとき、$3n = 3(2k+1) = 6k+3 = 2(3k+1) + 1$ となる。

$3k+1$ は整数なので、$3n$ は奇数である。

したがって、「$n$ が奇数ならば、$3n$ は奇数である」は真である。

対偶が真なので、元の命題「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

(1)

逆: $x, y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数である。（真）

裏: $x-y, xy$ がともに有理数ならば、$x, y$ はともに有理数である。（偽）

(反例：$x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$)

(2)

$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である。（真）

（証明は上記参照）