(1) 4種類の文字a, b, c, dから重複を許して7個選ぶ組み合わせの総数を求めよ。 (2) $(a+b+c)^6$ の展開式における異なる項の数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 4種類の文字a, b, c, dから重複を許して7個選ぶ組み合わせの総数を求めよ。

(2) $(a+b+c)^6$ の展開式における異なる項の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) これは重複組み合わせの問題です。4種類のものから7個選ぶ重複組み合わせの総数は、$_{4+7-1}C_7$ で計算できます。

$_{4+7-1}C_7 = {10}C_7 = {10}C_{10-7} = {10}C_3$

${10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) $(a+b+c)^6$ の展開式における一般項は、$Ca^pb^qc^r$ (Cは係数)の形になります。ここで、p, q, rは0以上の整数で、$p+q+r=6$ を満たします。

したがって、この問題は、p, q, rが0以上の整数であるという条件の下で、$p+q+r=6$ を満たす整数の組 (p, q, r) の数を求める問題と同等です。

これは、3種類のものから重複を許して6個選ぶ組み合わせの数と考えることができます。

3種類のものから6個選ぶ重複組み合わせの総数は、$_{3+6-1}C_6$ で計算できます。

$_{3+6-1}C_6 = {}_8C_6 = {}_8C_{8-6} = {}_8C_2$

${}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28$

3. 最終的な答え

(1) 120

(2) 28