$x > 0$ とする。濃度が $x\%$ の食塩水 $200g$ がある。この食塩水に、以下のいずれかの操作を行い、食塩水の濃度が $4\%$ 以上 $6\%$ 以下になるようにする。 (A) 水を $110g$ 加える。 (B) 食塩を $7g$ 加える。 (1) (A)の操作を1回行った後の食塩水に含まれる食塩の重さ（g）を $x$ を用いて表せ。また、このときの食塩水の濃度（%）を $x$ を用いて表せ。 (2) (A)または(B)のいずれかの操作を1回行うことで、食塩水の濃度が $4\%$ 以上 $6\%$ 以下になるような $x$ の値の範囲を小数で答えよ。 (3) (A)または(B)のいずれの操作についても、1回行うことでは、食塩水の濃度が $4\%$ 以上 $6\%$ 以下にならず、(A)または(B)のいずれかの操作をもう1回行うことで、食塩水の濃度が $4\%$ 以上 $6\%$ 以下になるような $x$ の値の範囲を小数で答えよ。ただし、1回目と2回目で異なる操作を行ってもよい。

1. 問題の内容

$x > 0$ とする。濃度が $x\%$ の食塩水 $200g$ がある。この食塩水に、以下のいずれかの操作を行い、食塩水の濃度が $4\%$ 以上 $6\%$ 以下になるようにする。

(A) 水を $110g$ 加える。

(B) 食塩を $7g$ 加える。

(1) (A)の操作を1回行った後の食塩水に含まれる食塩の重さ（g）を $x$ を用いて表せ。また、このときの食塩水の濃度（%）を $x$ を用いて表せ。

(2) (A)または(B)のいずれかの操作を1回行うことで、食塩水の濃度が $4\%$ 以上 $6\%$ 以下になるような $x$ の値の範囲を小数で答えよ。

(3) (A)または(B)のいずれの操作についても、1回行うことでは、食塩水の濃度が $4\%$ 以上 $6\%$ 以下にならず、(A)または(B)のいずれかの操作をもう1回行うことで、食塩水の濃度が $4\%$ 以上 $6\%$ 以下になるような $x$ の値の範囲を小数で答えよ。ただし、1回目と2回目で異なる操作を行ってもよい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、濃度が $x\%$ の食塩水 $200g$ に含まれる食塩の重さを求める。

食塩の重さ $= 200 \times \frac{x}{100} = 2x (g)$

(A)の操作では水を $110g$ 加えるため、食塩水の重さは $200 + 110 = 310 (g)$ となる。

食塩の重さは変わらず $2x (g)$ である。

したがって、食塩水の濃度は、

$\frac{2x}{310} \times 100 = \frac{200x}{310} = \frac{20x}{31} (\%)$

(2)

(A)の操作を行った場合、濃度は $\frac{20x}{31}$ となる。

$4 \leq \frac{20x}{31} \leq 6$ を解く。

$4 \leq \frac{20x}{31}$ より $20x \geq 4 \times 31 = 124$ なので、 $x \geq \frac{124}{20} = 6.2$

$\frac{20x}{31} \leq 6$ より $20x \leq 6 \times 31 = 186$ なので、 $x \leq \frac{186}{20} = 9.3$

したがって、$6.2 \leq x \leq 9.3$

(B)の操作を行った場合、食塩水の重さは $200 + 7 = 207 (g)$ となり、食塩の重さは $2x + 7 (g)$ となる。

したがって、濃度は $\frac{2x+7}{207} \times 100 = \frac{200x+700}{207} (\%)$ となる。

$4 \leq \frac{200x+700}{207} \leq 6$ を解く。

$4 \leq \frac{200x+700}{207}$ より $200x+700 \geq 4 \times 207 = 828$ なので、$200x \geq 128$ で $x \geq \frac{128}{200} = 0.64$

$\frac{200x+700}{207} \leq 6$ より $200x+700 \leq 6 \times 207 = 1242$ なので、$200x \leq 542$ で $x \leq \frac{542}{200} = 2.71$

したがって、$0.64 \leq x \leq 2.71$

よって、(A)または(B)の操作で $4\%$ 以上 $6\%$ 以下になる $x$ の範囲は、$0.64 \leq x \leq 2.71$ または $6.2 \leq x \leq 9.3$ となる。

(3)

(A)を1回行うと、$6.2 \leq x \leq 9.3$ となる必要がある。

このとき(B)の操作を行うと、$0.64 \leq x' \leq 2.71$ となる。ここで、$x' = \frac{200x}{31} = y$とおくと、$x = \frac{31y}{200}$。

したがって、$0.64 \leq \frac{200x/31+700/31}{207}$から$x \ge (828-700)/200*31=1.984$

そして、$(1242-700)/200*31 = 84.26$より、$x = y$とおくと、$x =$

まず1回目にAの操作を行うと$6.2 \le x \le 9.3$。この時の濃度は$\frac{20x}{31}$。

ここで、2回目にBの操作を行うと、$\frac{2(\frac{20x}{31})+7}{207}\times 100$が4%以上6%以下であれば良い。

つまり$4 \le \frac{200(\frac{x}{31})+7}{207} \le 6$。

$828 \le 200\frac{x}{31}+700 \le 1242$

$128 \le 200\frac{x}{31} \le 542$

$128*31 \le 200x \le 542*31$

$3968 \le 200x \le 16802$

$19.84 \le x \le 84.01$。

次に、1回目にBの操作を行うと、$0.64 \le x \le 2.71$。この時の濃度は$\frac{2x+7}{207}\times 100$。

ここで、2回目にAの操作を行うと、\frac{2x+7}{207}*\frac{310}{2x+7} \times100 \frac{2x+7}{\frac{414}{6234} \le

よって、$6.2 \le x \le 2.71$

3. 最終的な答え

(1) 食塩の重さ: $2x$ (g), 濃度: $\frac{20x}{31}$ (%)

(2) $0.64 \leq x \leq 2.71$ または $6.2 \leq x \leq 9.3$

(3) $19.84 \le x \le 84.01$