$a, b, c$ をそれぞれ1桁の数とする。3桁の数 $abc$ を7進法で表すと $abc_{(7)}$ となり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ となる。この数を10進法で表す。

1. 問題の内容

$a, b, c$ をそれぞれ1桁の数とする。3桁の数 $abc$ を7進法で表すと $abc_{(7)}$ となり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ となる。この数を10進法で表す。

2. 解き方の手順

与えられた条件を10進法で表現する。

$abc$ は10進数で $100a + 10b + c$ と表せる。

$abc_{(7)}$ は7進数なので、10進数では $49a + 7b + c$ と表せる。

$bca_{(5)}$ は5進数なので、10進数では $25b + 5c + a$ と表せる。

問題文より、

$100a + 10b + c = 49a + 7b + c$ かつ $100a + 10b + c = 25b + 5c + a$

が成り立つ。

最初の式から

$100a + 10b + c = 49a + 7b + c$

$51a + 3b = 0$

$17a + b = 0$

$a$ と $b$ は1桁の数であるので、$a=0$ かつ $b=0$ となるが、$abc$は3桁の数なので、$a \neq 0$ である。

したがって、$100a + 10b + c = 49a + 7b + c$ は誤りである。

7進法で表すと $abc_{(7)}$ になるということは、

$100a + 10b + c = 49a + 7b + c$

が成り立つということである。

次に、2番目の式から

$100a + 10b + c = 25b + 5c + a$

$99a - 15b - 4c = 0$

$99a = 15b + 4c$

$a, b, c$ は1桁の数で、$a, b, c < 5$ を満たす。

$a, b, c$ は整数である。

$99a = 15b + 4c$ に対して、$a, b, c$ に値を代入して調べる。

$a=1$ のとき $99 = 15b + 4c$

$b=1$ のとき $99 = 15 + 4c$ より $4c = 84$, $c = 21$ となるが、これは条件を満たさない。

$b=2$ のとき $99 = 30 + 4c$ より $4c = 69$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=3$ のとき $99 = 45 + 4c$ より $4c = 54$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=4$ のとき $99 = 60 + 4c$ より $4c = 39$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=5$ のとき $99 = 75 + 4c$ より $4c = 24$, $c = 6$ となる。$b, c < 5$ より、これは条件を満たさない。

$a=2$ のとき $198 = 15b + 4c$

$b=1$ のとき $198 = 15 + 4c$ より $4c = 183$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=2$ のとき $198 = 30 + 4c$ より $4c = 168$, $c = 42$ となるが、これは条件を満たさない。

$b=3$ のとき $198 = 45 + 4c$ より $4c = 153$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=4$ のとき $198 = 60 + 4c$ より $4c = 138$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=5$ のとき $198 = 75 + 4c$ より $4c = 123$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=6$ のとき $198 = 90 + 4c$ より $4c = 108$, $c = 27$ となるが、これは条件を満たさない。

$b=7$ のとき $198 = 105 + 4c$ より $4c = 93$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=8$ のとき $198 = 120 + 4c$ より $4c = 78$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=9$ のとき $198 = 135 + 4c$ より $4c = 63$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=10$ のとき $198 = 150 + 4c$ より $4c = 48$, $c = 12$ となるが、これは条件を満たさない。

$b=11$ のとき $198 = 165 + 4c$ より $4c = 33$ となるが、$c$ は整数にならない。

$b=12$ のとき $198 = 180 + 4c$ より $4c = 18$, $c = 4.5$ となるが、$c$ は整数ではない。

問題文より $a,b,c$ は7進数で表されているため，$a,b,c$ は6以下の整数であり，

また，5進数で表されているため，$a,b,c$ は4以下の整数である．

したがって，$a,b,c$ はすべて4以下の整数である．

$100a+10b+c = 49a+7b+c$ より $51a+3b=0$ となるが，$a,b$ は正の整数なので，これは矛盾する．

したがって，$100a+10b+c = 49a+7b+c$ は誤りである．

$49a+7b+c = 25b+5c+a$ より

$48a-18b-4c=0$

$12a = 4.5b + c$

$99a=15b+4c$ より $15b+4c \le 99 \times 4 = 396$

$a, b, c \le 4$

$99a = 15b + 4c$

$a = 1$ のとき $99 = 15b + 4c$ となるが、$15b+4c$ の最大値は、$15 \times 4 + 4 \times 4 = 60+16 = 76$ なので、$a=1$ は不可能。

$a = 2$ のとき $198 = 15b + 4c$となる。$198 / 15 \approx 13$ なので$b = 4$までしかないことから、$15b + 4c$ の最大値は 76 なので、$a=2$も不可能。

$a=3$ のとき $297 = 15b+4c$, $b=4$ のとき $297 = 60 + 4c$, $4c = 237$　($c$は整数ではない。)

よく考えると、

$100a + 10b + c = 49a + 7b + c$ 誤り

$100a + 10b + c = 25b + 5c + a$ 正しい

$49a + 7b + c = 25b + 5c + a$

$48a = 18b + 4c$

$12a = \frac{9}{2} b + c$

$24a = 9b + 2c$

$a=1$ のとき $24 = 9b + 2c$。$b = 2$ とすると、 $24 = 18 + 2c$ より $2c = 6$, $c = 3$。

$a=1, b=2, c=3$

このとき $abc = 123$

$abc_{(7)} = 49(1) + 7(2) + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$。よって$abc=123$ではない。

$bca_{(5)} = 25(2) + 5(3) + 1 = 50+15+1 = 66$

$100a+10b+c = 25b+5c+a$ より $99a = 15b+4c$.

$a=1$, $b=2$, $c=3$ のとき $99 = 15(2) + 4(3) = 30+12 = 42$ なので、$a=1$, $b=2$, $c=3$ は誤り。

$12a = \frac{9}{2} b + c$ は誤りなので$24a = 9b+2c$ も誤り

$abc=66$, $100a+10b+c=66$

$bca = 231$, $100b+10c+a = 231$

ありえない。

3. 最終的な答え

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