40以下の自然数全体を全体集合とする。 Aを3の倍数の集合、Bを4の倍数の集合とする。 (1) $n(A)$を求める。 (2) $n(\overline{A})$を求める。 (3) $n(A \cap B)$を求める。 (4) $n(A \cup B)$を求める。

1. 問題の内容

40以下の自然数全体を全体集合とする。

Aを3の倍数の集合、Bを4の倍数の集合とする。

(1) $n(A)$を求める。

(2) $n(\overline{A})$を求める。

(3) $n(A \cap B)$を求める。

(4) $n(A \cup B)$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$は、40以下の3の倍数の個数。

$40 \div 3 = 13$ あまり1なので、3の倍数は13個。したがって、$n(A) = 13$。

(2) $n(\overline{A})$は、Aの補集合の要素の個数であり、40以下の自然数からAの要素の個数を引いたもの。

40以下の自然数は40個なので、$n(\overline{A}) = 40 - n(A) = 40 - 13 = 27$。

(3) $A \cap B$は、3の倍数かつ4の倍数なので、12の倍数の集合。

$40 \div 12 = 3$ あまり4なので、12の倍数は3個。したがって、$n(A \cap B) = 3$。

(4) $n(A \cup B)$は、AまたはBに属する要素の個数であり、以下の公式で求めることができる。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

まず、$n(B)$を求める。

$40 \div 4 = 10$なので、4の倍数は10個。したがって、$n(B) = 10$。

よって、$n(A \cup B) = 13 + 10 - 3 = 20$。

3. 最終的な答え

(1) $n(A) = 13$

(2) $n(\overline{A}) = 27$

(3) $n(A \cap B) = 3$

(4) $n(A \cup B) = 20$