6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数の中で、最大のものを求める問題です。

1. 問題の内容

6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数の中で、最大のものを求める問題です。

2. 解き方の手順

求める自然数を $n$ とします。問題文より、以下の2つの条件を満たします。

* $n \equiv 3 \pmod{6}$

* $n \equiv 5 \pmod{17}$

1つ目の式より、$n = 6k + 3$ ( $k$ は整数) と表せます。

これを2つ目の式に代入すると、

$6k + 3 \equiv 5 \pmod{17}$

$6k \equiv 2 \pmod{17}$

ここで、6の法17における逆元を求めます。

$6 \times 3 = 18 \equiv 1 \pmod{17}$ なので、6の逆元は3です。

両辺に3をかけると、

$18k \equiv 6 \pmod{17}$

$k \equiv 6 \pmod{17}$

よって、$k = 17m + 6$ ( $m$ は整数) と表せます。

これを $n = 6k + 3$ に代入すると、

$n = 6(17m + 6) + 3$

$n = 102m + 36 + 3$

$n = 102m + 39$

求める $n$ は3桁の自然数なので、$100 \leq n \leq 999$ です。

$100 \leq 102m + 39 \leq 999$

$61 \leq 102m \leq 960$

$\frac{61}{102} \leq m \leq \frac{960}{102}$

$0.598... \leq m \leq 9.411...$

$m$ は整数なので、$1 \leq m \leq 9$ です。$n$ が最大になるのは $m=9$ のときなので、

$n = 102 \times 9 + 39 = 918 + 39 = 957$

3. 最終的な答え

957