与えられた順列（Permutation）と組み合わせ（Combination）の値を計算する問題です。具体的には、$8P_5$, $20P_2$, $7!$, $8C_4$, $10C_8$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた順列（Permutation）と組み合わせ（Combination）の値を計算する問題です。具体的には、$8P_5$, $20P_2$, $7!$, $8C_4$, $10C_8$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $8P_5$ の計算:

順列の公式は $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ です。したがって、

$8P_5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

(2) $20P_2$ の計算:

$20P_2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \times 19 = 380$

(3) $7!$ の計算:

階乗の定義から $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$です。したがって、

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(4) $8C_4$ の計算:

組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。したがって、

$8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(5) $10C_8$ の計算:

$10C_8 = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

3. 最終的な答え

(1) $8P_5 = 6720$

(2) $20P_2 = 380$

(3) $7! = 5040$

(4) $8C_4 = 70$

(5) $10C_8 = 45$