1. 問題の内容
与えられた式 を因数分解する問題です。
2. 解き方の手順
式 を因数分解するには、以下の手順で進めます。
1. 与えられた式をよく観察し、因数分解の公式が適用できるかどうかを検討します。ここでは、2次式であるため、$(x + A)(x + B)$ の形に因数分解できるかどうかを考えます。
2. $(x + A)(x + B) = x^2 + (A+B)x + AB$ であることから、$A+B = 3a$ かつ $AB = -9a^2$ となる $A$ と $B$ を探します。
3. $A$ と $B$ を求めるために、$AB = -9a^2$ という条件から、$A$ と $B$ の符号が異なることがわかります。また、$A$ と $B$ は $a$ の定数倍の形であると予想できます。
4. $A = 6a$、$B = -3a$ とすると、$A + B = 6a - 3a = 3a$、$AB = (6a)(-3a) = -18a^2$ となり、条件を満たしません。
5. $A=3a(1+\sqrt{2})$、$B=3a(1-\sqrt{2})$とすると、$A+B=3a(1+\sqrt{2})+3a(1-\sqrt{2})=6a$、$A+B=3a$とならないため、誤りである。
6. 式をよく見ると、$x^2 + 3ax - 9a^2 = x^2 + 3ax + (\frac{3a}{2})^2 - (\frac{3a}{2})^2 - 9a^2 = (x+\frac{3a}{2})^2 - \frac{9}{4}a^2 - \frac{36}{4}a^2 = (x+\frac{3a}{2})^2 - \frac{45}{4}a^2$
7. $(x+\frac{3a}{2})^2 - (\frac{3\sqrt{5}}{2}a)^2$となり、$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$を使うと、$(x+\frac{3a}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}a)(x+\frac{3a}{2}-\frac{3\sqrt{5}}{2}a)=(x+\frac{3a}{2}(1+\sqrt{5}))(x+\frac{3a}{2}(1-\sqrt{5}))$となる。
3. 最終的な答え
は と因数分解できます。