与えられた式 $\sqrt{5 - \sqrt{24}}$ を簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{5 - \sqrt{24}}$ を簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{24}$ を簡単にします。$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ なので、与えられた式は $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ となります。

次に、二重根号を外すことを試みます。

$\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ の公式を利用します。

この問題では、$a = 5$、$b = 24$ です。

$a^2 - b = 5^2 - 24 = 25 - 24 = 1$

したがって、$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{1}}{2}} - \sqrt{\frac{5 - \sqrt{1}}{2}} = \sqrt{\frac{5+1}{2}} - \sqrt{\frac{5-1}{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} - \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

別の方法として、$5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ となるような $a$ と $b$ を探します。

$a + b = 5$ かつ $ab = 6$ となる $a$ と $b$ を探すと、$a = 3$、$b = 2$ または $a = 2$、$b = 3$ となります。

したがって、$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$