次の4つの式を因数分解する問題です。 (i) $3x^2 - 20x + 12$ (ii) $8x^3 + 1$ (iii) $x^4 + 5x^2 - 36$ (iv) $x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$

はい、承知しました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の4つの式を因数分解する問題です。

(i) $3x^2 - 20x + 12$

(ii) $8x^3 + 1$

(iii) $x^4 + 5x^2 - 36$

(iv) $x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$

2. 解き方の手順

(i) $3x^2 - 20x + 12$

これは二次式なので、たすき掛けを利用して因数分解します。

$3x^2 - 20x + 12 = (3x + a)(x + b)$ となる $a,b$ を見つけます。

$3x^2 - 20x + 12 = (3x - 2)(x - 6)$

(ii) $8x^3 + 1$

これは、$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3$ なので、$a = 2x$, $b = 1$ を代入します。

$8x^3 + 1 = (2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2)$

$8x^3 + 1 = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

(iii) $x^4 + 5x^2 - 36$

$x^2 = t$ とおくと、$t^2 + 5t - 36$ となります。

$t^2 + 5t - 36 = (t + 9)(t - 4)$

$t$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 + 9)(x^2 - 4)$ となります。

$x^2 - 4$ はさらに因数分解できるので、$(x^2 + 9)(x + 2)(x - 2)$ となります。

(iv) $x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$

この式は少し複雑なので、整理して考えます。

$x$ について整理すると、$x^2 + (2y - 4)x - 6y + 3$ となります。

残念ながら、この式は簡単に因数分解できそうにありません。

別の方法を考えます。

$x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3 = (x + a)(x + b) + c$ の形になるか試します。

しかし、この形にも当てはまりません。

式をよく見ると、$x^2 + 2xy - 4x - 6y + y^2 + 4 - y^2 - 4 + 3$

$(x+y-2)^2 - (y^2 + 6y + 9) + 8 = (x+y-2)^2 - (y+3)^2 + 8$

$(x+y-2)^2 - (y+3)^2 + 8 = (x+y-2 + y+3)(x+y-2 - y -3) + 8 = (x+2y+1)(x-5)+8$

与えられた問題にミスがある可能性もあります。

問題文を再度確認し、もし問題文に誤りがないと仮定すると、因数分解はできません。

もしくは、複素数解を許容するのであれば、因数分解可能です。

3. 最終的な答え

(i) $(3x - 2)(x - 6)$

(ii) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

(iii) $(x^2 + 9)(x + 2)(x - 2)$

(iv) 因数分解できません。

もし問題文に誤りがある場合や、追加の情報があれば、再度挑戦します。