$a+b+c=0$ のとき、以下の等式を証明する問題です。 (1) $a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ (2) $2a^2 + bc = (a-b)(a-c)$ (3) $(b+c)(c+a)(a+b) + abc = 0$

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、以下の等式を証明する問題です。

(1) $a^2 - 2bc = b^2 + c^2$

(2) $2a^2 + bc = (a-b)(a-c)$

(3) $(b+c)(c+a)(a+b) + abc = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c = 0$ より、$a = -(b+c)$ が成り立つ。この式を $a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ の左辺に代入する。

左辺 $= a^2 - 2bc = (-(b+c))^2 - 2bc = (b+c)^2 - 2bc = b^2 + 2bc + c^2 - 2bc = b^2 + c^2$

これは右辺に等しい。よって、$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ が成り立つ。

(2) $a+b+c = 0$ より、$b+c = -a$ が成り立つ。$2a^2 + bc = (a-b)(a-c)$ の右辺を展開する。

右辺 $= (a-b)(a-c) = a^2 - ac - ab + bc = a^2 - a(b+c) + bc$

ここで、$b+c = -a$ を代入すると、

右辺 $= a^2 - a(-a) + bc = a^2 + a^2 + bc = 2a^2 + bc$

これは左辺に等しい。よって、$2a^2 + bc = (a-b)(a-c)$ が成り立つ。

(3) $a+b+c = 0$ を利用する。$(b+c)(c+a)(a+b) + abc = 0$ の左辺を計算する。

$a+b+c=0$ より、$b+c=-a$, $c+a=-b$, $a+b=-c$ なので、

$(b+c)(c+a)(a+b) + abc = (-a)(-b)(-c) + abc = -abc + abc = 0$

よって、$(b+c)(c+a)(a+b) + abc = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ が成り立つ。

(2) $2a^2 + bc = (a-b)(a-c)$ が成り立つ。

(3) $(b+c)(c+a)(a+b) + abc = 0$ が成り立つ。