$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ の形を利用します。

$4 + 2\sqrt{3}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形になるように、$a$と$b$を探します。

$a+b = 4$ かつ $ab = 3$となる$a$と$b$を探します。

$a=3$、$b=1$とすると、$a+b=3+1=4$、$ab=3\cdot 1 = 3$となり、条件を満たします。

よって、

$4 + 2\sqrt{3} = 3 + 1 + 2\sqrt{3 \cdot 1} = (\sqrt{3} + \sqrt{1})^2$

したがって、

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} + 1$