2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の2つの解の差が2であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の2つの解の差が2であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解を $\alpha$、$\beta$ とおく。解の差が2なので、$\beta - \alpha = 2$ となるように設定する。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2m$

$\alpha \beta = m^2 + 2m + 3$

$\beta = \alpha + 2$ を $\alpha + \beta = 2m$ に代入すると、

$\alpha + (\alpha + 2) = 2m$

$2\alpha + 2 = 2m$

$\alpha = m - 1$

$\beta = \alpha + 2 = (m - 1) + 2 = m + 1$

次に、$\alpha \beta = m^2 + 2m + 3$ に $\alpha = m - 1$、$\beta = m + 1$ を代入すると、

$(m - 1)(m + 1) = m^2 + 2m + 3$

$m^2 - 1 = m^2 + 2m + 3$

$0 = 2m + 4$

$2m = -4$

$m = -2$

したがって、$\alpha = m - 1 = -2 - 1 = -3$

$\beta = m + 1 = -2 + 1 = -1$

2つの解は、-3と-1である。

3. 最終的な答え

$m = -2$

2つの解は $x = -3, -1$