7つの座席が横一列に並んでおり、7人の人が座る。 (1) AとBが隣り合う座り方は何通りか。 (2) AとBが隣り合わない座り方は何通りか。 (3) AとBとCのどの2人も隣り合わない座り方は何通りか。 (4) AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない座り方は何通りか。

1. 問題の内容

7つの座席が横一列に並んでおり、7人の人が座る。

(1) AとBが隣り合う座り方は何通りか。

(2) AとBが隣り合わない座り方は何通りか。

(3) AとBとCのどの2人も隣り合わない座り方は何通りか。

(4) AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない座り方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) AとBが隣り合う場合

AとBをひとまとめにして考えます。ABまたはBAの2通りがあります。この塊と残りの5人を並べるので、並べ方は6!通りです。したがって、座り方は

$2 \times 6! = 2 \times 720 = 1440$ 通りです。

(2) AとBが隣り合わない場合

全体の座り方からAとBが隣り合う座り方を引けばよいです。全体の座り方は7!です。AとBが隣り合う座り方は(1)で求めた1440通りです。したがって、座り方は

$7! - 1440 = 5040 - 1440 = 3600$ 通りです。

(3) AとBとCのどの2人も隣り合わない場合

まず、D, E, F, Gの4人を並べます。並べ方は4!通り。

_D_E_F_G_

次に、上記の5か所の_にA, B, Cを並べます。5か所から3か所を選ぶ選び方は ${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

したがって、座り方は

$4! \times {}_5 P_3 = 24 \times 60 = 1440$ 通りです。

(4) AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない場合

AとBが隣り合う座り方は(1)で求めたように1440通りです。

CとDが隣り合う座り方は、同様に考えて $2 \times 6! = 1440$ 通りです。

AとBが隣り合い、かつCとDが隣り合う座り方を考えます。

AとB, CとDをそれぞれひとまとめにして考えます。ABまたはBAの2通り、CDまたはDCの2通りです。

この2つの塊と残りの3人を並べるので、並べ方は5!通りです。したがって、座り方は

$2 \times 2 \times 5! = 4 \times 120 = 480$ 通りです。

AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない座り方は、AとBが隣り合う座り方からAとBが隣り合い、かつCとDが隣り合う座り方を引けばよいです。

したがって、座り方は

$1440 - 480 = 960$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1440通り

(2) 3600通り

(3) 1440通り

(4) 960通り