質量 $m_2$ の質点が静止している質量 $m_1$ の質点に散乱角 $\theta$ で散乱した。重心系で観測すると散乱角は $\phi$ である。 $\tan \theta = \frac{\sin \phi}{\cos \phi + k}$ の関係があり、$k = \frac{m_2}{m_1}$ である。 $k > 1$ のとき、$\theta$ に上限値 $\theta_m$ があり、$\sin \theta_m = \frac{1}{k} = \frac{m_1}{m_2}$ であることを以下の手順に従って示す。 (1) $\theta$ は $\phi$ の関数であると考え、$\frac{d\theta}{d\phi}$ を求める。 (2) $\frac{d\theta}{d\phi} = 0$ となるときの $\phi$ を求める。また、$\frac{d^2\theta}{d\phi^2} < 0$ を示す。ここで $0 \leq \phi \leq \pi$ である。 (3) このときの $\sin \theta$ を求める。

1. 問題の内容

質量 $m_2$ の質点が静止している質量 $m_1$ の質点に散乱角 $\theta$ で散乱した。重心系で観測すると散乱角は $\phi$ である。

$\tan \theta = \frac{\sin \phi}{\cos \phi + k}$ の関係があり、$k = \frac{m_2}{m_1}$ である。

$k > 1$ のとき、$\theta$ に上限値 $\theta_m$ があり、$\sin \theta_m = \frac{1}{k} = \frac{m_1}{m_2}$ であることを以下の手順に従って示す。

(1) $\theta$ は $\phi$ の関数であると考え、$\frac{d\theta}{d\phi}$ を求める。

(2) $\frac{d\theta}{d\phi} = 0$ となるときの $\phi$ を求める。また、$\frac{d^2\theta}{d\phi^2} < 0$ を示す。ここで $0 \leq \phi \leq \pi$ である。

(3) このときの $\sin \theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tan \theta = \frac{\sin \phi}{\cos \phi + k}$ より、両辺を $\phi$ で微分する。

$\frac{1}{\cos^2 \theta} \frac{d\theta}{d\phi} = \frac{\cos \phi (\cos \phi + k) - \sin \phi (-\sin \phi)}{(\cos \phi + k)^2} = \frac{\cos^2 \phi + k \cos \phi + \sin^2 \phi}{(\cos \phi + k)^2} = \frac{1 + k \cos \phi}{(\cos \phi + k)^2}$

よって、

$\frac{d\theta}{d\phi} = \cos^2 \theta \frac{1 + k \cos \phi}{(\cos \phi + k)^2}$

ここで、$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + \frac{\sin^2 \phi}{(\cos \phi + k)^2}} = \frac{(\cos \phi + k)^2}{(\cos \phi + k)^2 + \sin^2 \phi} = \frac{(\cos \phi + k)^2}{\cos^2 \phi + 2k \cos \phi + k^2 + \sin^2 \phi} = \frac{(\cos \phi + k)^2}{1 + 2k \cos \phi + k^2}$

したがって、

$\frac{d\theta}{d\phi} = \frac{1 + k \cos \phi}{1 + 2k \cos \phi + k^2}$

(2) $\frac{d\theta}{d\phi} = 0$ となるとき、$1 + k \cos \phi = 0$ より、$\cos \phi = -\frac{1}{k}$

このとき、$\sin \phi = \sqrt{1 - \cos^2 \phi} = \sqrt{1 - \frac{1}{k^2}} = \frac{\sqrt{k^2 - 1}}{k}$ ($0 \leq \phi \leq \pi$ より $\sin \phi \geq 0$)

$\frac{d^2\theta}{d\phi^2} = \frac{-k\sin \phi (1 + 2k \cos \phi + k^2) - (1 + k \cos \phi)(-2k \sin \phi)}{(1 + 2k \cos \phi + k^2)^2} = \frac{-k\sin \phi (1 + 2k \cos \phi + k^2)}{(1 + 2k \cos \phi + k^2)^2}$

$\cos \phi = -\frac{1}{k}$ のとき、

$\frac{d^2\theta}{d\phi^2} = \frac{-k \sin \phi (1 - 2 + k^2)}{(1 - 2 + k^2)^2} = \frac{-k \sin \phi (k^2 - 1)}{(k^2 - 1)^2} = \frac{-k \sin \phi}{k^2 - 1}$

$k > 1$ であり $\sin \phi = \frac{\sqrt{k^2 - 1}}{k} > 0$ であるから、$\frac{d^2\theta}{d\phi^2} < 0$ である。

(3) $\cos \phi = -\frac{1}{k}$ のとき、$\tan \theta = \frac{\sin \phi}{\cos \phi + k} = \frac{\frac{\sqrt{k^2 - 1}}{k}}{-\frac{1}{k} + k} = \frac{\frac{\sqrt{k^2 - 1}}{k}}{\frac{k^2 - 1}{k}} = \frac{\sqrt{k^2 - 1}}{k^2 - 1} = \frac{1}{\sqrt{k^2 - 1}}$

$\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{\frac{1}{k^2 - 1}}{1 + \frac{1}{k^2 - 1}} = \frac{\frac{1}{k^2 - 1}}{\frac{k^2}{k^2 - 1}} = \frac{1}{k^2}$

したがって、$\sin \theta = \frac{1}{k}$ ($\theta$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲にあることが予想されるため正の値をとる)

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d\theta}{d\phi} = \frac{1 + k \cos \phi}{1 + 2k \cos \phi + k^2}$

(2) $\cos \phi = -\frac{1}{k}$, $\frac{d^2\theta}{d\phi^2} < 0$

(3) $\sin \theta = \frac{1}{k}$